Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
u=x^{2}+y^{2} ; x=\operatorname{cosh} r \cos t ; y=\operatorname{senh} r \operatorname{sen} t ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial t}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes relações (estas são as informações explícitas do problema):
  • u=x^{2}+y^{2}.
  • x=\operatorname{cosh} r\cos t.
  • y=\operatorname{sinh} r\sin t.
O que o enunciado pede:
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial r}.
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial t}.
Vou apresentar duas formas (a) usando a regra da cadeia e (b) substituindo x e y em u antes de diferenciar, mostrando passo a passo e explicando cada fórmula utilizada.

Passo 2

Primeiro método: regra da cadeia para derivadas parciais. A ideia é que u depende de x e y, e x e y dependem de r e t. A regra da cadeia para derivada parcial diz:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicando: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando x varia (mantendo y fixo); \dfrac{\partial x}{\partial r} é a taxa de variação de x em relação a r. Multiplicando e somando para x e y a gente obtém a taxa total de u em relação a r (ou t) levando em conta os dois caminhos.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} a partir de u=x^{2}+y^{2}.
  • Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
  • Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Isso vem da regra básica da diferenciação de potências: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a r e t. Lembrando as derivadas elementares:
  • \dfrac{d}{dr}\operatorname{cosh} r=\operatorname{sinh} r.
  • \dfrac{d}{dr}\operatorname{sinh} r=\operatorname{cosh} r.
  • \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
  • \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Logo:
  • Derivadas em relação a r:
\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}(\operatorname{cosh} r\cos t)=\operatorname{sinh} r\cos t,
\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}(\operatorname{sinh} r\sin t)=\operatorname{cosh} r\sin t.
  • Derivadas em relação a t:
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{cosh} r\cos t)=-\operatorname{cosh} r\sin t,
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{sinh} r\sin t)=\operatorname{sinh} r\cos t.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial u}{\partial r}. Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial u}{\partial r} = (2x)(\operatorname{sinh} r\cos t)+(2y)(\operatorname{cosh} r\sin t).
Colocando fator 2 em evidência:
\frac{\partial u}{\partial r}=2\big(x\operatorname{sinh} r\cos t + y\operatorname{cosh} r\sin t\big).
Agora substituímos x=\operatorname{cosh} r\cos t e y=\operatorname{sinh} r\sin t para simplificar:
x\operatorname{sinh} r\cos t = (\operatorname{cosh} r\cos t)(\operatorname{sinh} r\cos t)=\operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r\cos^{2}t,
y\operatorname{cosh} r\sin t = (\operatorname{sinh} r\sin t)(\operatorname{cosh} r\sin t)=\operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r\sin^{2}t.
Somando:
x\operatorname{sinh} r\cos t + y\operatorname{cosh} r\sin t = \operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=\operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial r}=2\operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r.
Usando a identidade hiperbólica 2\operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r=\operatorname{sinh}(2r), obtemos a forma compacta:
\frac{\partial u}{\partial r}=\operatorname{sinh}(2r).

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial u}{\partial t}. Substituindo:
\frac{\partial u}{\partial t} = (2x)(-\operatorname{cosh} r\sin t) + (2y)(\operatorname{sinh} r\cos t).
Colocando fator 2:
\frac{\partial u}{\partial t}=2\big(-x\operatorname{cosh} r\sin t + y\operatorname{sinh} r\cos t\big).
Substituindo x e y:
-x\operatorname{cosh} r\sin t = -(\operatorname{cosh} r\cos t)(\operatorname{cosh} r\sin t)=-\operatorname{cosh}^{2}r\cos t\sin t,
y\operatorname{sinh} r\cos t = (\operatorname{sinh} r\sin t)(\operatorname{sinh} r\cos t)=\operatorname{sinh}^{2}r\sin t\cos t.
Somando:
-x\operatorname{cosh} r\sin t + y\operatorname{sinh} r\cos t = (\,-\operatorname{cosh}^{2}r+\operatorname{sinh}^{2}r\,)\sin t\cos t.
Mas \operatorname{cosh}^{2}r-\operatorname{sinh}^{2}r=1, então -\operatorname{cosh}^{2}r+\operatorname{sinh}^{2}r=-1. Logo
-x\operatorname{cosh} r\sin t + y\operatorname{sinh} r\cos t = -\sin t\cos t.
Multiplicando por 2:
\frac{\partial u}{\partial t}=-2\sin t\cos t.
Usando a identidade trigonométrica 2\sin t\cos t=\sin(2t), obtemos a forma compacta:
\frac{\partial u}{\partial t}=-\sin(2t).

Passo 7

Segundo método: substituir x e y em u antes de diferenciar. Primeiro escrevemos u em função explícita de r e t:
u(r,t)=(\operatorname{cosh} r\cos t)^{2}+(\operatorname{sinh} r\sin t)^{2} =\operatorname{cosh}^{2}r\cos^{2}t+\operatorname{sinh}^{2}r\sin^{2}t.

Passo 8

Diferenciar u(r,t) em relação a r (mantendo t fixo). Aplicando derivada termo a termo e a regra do produto simples:
\frac{\partial}{\partial r}\big(\operatorname{cosh}^{2}r\cos^{2}t\big) =(2\operatorname{cosh} r\operatorname{sinh} r)\cos^{2}t,
\frac{\partial}{\partial r}\big(\operatorname{sinh}^{2}r\sin^{2}t\big) =(2\operatorname{sinh} r\operatorname{cosh} r)\sin^{2}t.
Somando:
\frac{\partial u}{\partial r}=2\operatorname{cosh} r\operatorname{sinh} r(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2\operatorname{cosh} r\operatorname{sinh} r=\operatorname{sinh}(2r),
o mesmo resultado obtido antes.

Passo 9

Diferenciar u(r,t) em relação a t (mantendo r fixo). Aplicando derivada de \cos^{2}t e \sin^{2}t:
\frac{\partial}{\partial t}\big(\operatorname{cosh}^{2}r\cos^{2}t\big)=\operatorname{cosh}^{2}r\cdot(2\cos t)(-\sin t)=-2\operatorname{cosh}^{2}r\cos t\sin t,
\frac{\partial}{\partial t}\big(\operatorname{sinh}^{2}r\sin^{2}t\big)=\operatorname{sinh}^{2}r\cdot(2\sin t)(\cos t)=2\operatorname{sinh}^{2}r\sin t\cos t.
Somando:
\frac{\partial u}{\partial t}=2\sin t\cos t\big(-\operatorname{cosh}^{2}r+\operatorname{sinh}^{2}r\big)=2\sin t\cos t(-1)=-2\sin t\cos t,
ou seja
\frac{\partial u}{\partial t}=-\sin(2t),
de novo o mesmo resultado.

Passo 10

Comentário final e motivacional curto: as duas abordagens são equivalentes (como deveria acontecer). A regra da cadeia é útil quando a forma de u em x,y é simples (aqui quadrática) e as transformações x(r,t),y(r,t) têm derivadas fáceis; substituir primeiro pode ser mais direto quando u já simplifica-se ao substituir (como aconteceu aqui). Boa notícia: os resultados ficaram bem simples: \operatorname{sinh}(2r) e -\sin(2t) — anota isso para a prova, respira, você consegue!

Resposta

\dfrac{\partial u}{\partial r}=\operatorname{sinh}(2r)
\dfrac{\partial u}{\partial t}=-\sin(2t)

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