Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes relações (estas são as informações explícitas do problema):
-
. -
. -
.
O que o enunciado pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Vou apresentar duas formas (a) usando a regra da cadeia e (b) substituindo
e
em
antes de diferenciar, mostrando passo a passo e explicando cada fórmula utilizada.
Passo 2
Primeiro método: regra da cadeia para derivadas parciais. A ideia é que
depende de
e
, e
e
dependem de
e
. A regra da cadeia para derivada parcial diz:
Explicando:
é a taxa de variação de
quando
varia (mantendo
fixo);
é a taxa de variação de
em relação a
. Multiplicando e somando para
e
a gente obtém a taxa total de
em relação a
(ou
) levando em conta os dois caminhos.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
- Derivando em relação a
(tratando como constante):
- Derivando em relação a
(tratando como constante):
Isso vem da regra básica da diferenciação de potências:
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Lembrando as derivadas elementares:
-
. -
. -
. -
.
Logo:
- Derivadas em relação a
:
- Derivadas em relação a
:
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Colocando fator
em evidência:
Agora substituímos
e
para simplificar:
Somando:
Portanto
Usando a identidade hiperbólica
, obtemos a forma compacta:
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Substituindo:
Colocando fator
:
Substituindo
e
:
Somando:
Mas
, então
. Logo
Multiplicando por
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma compacta:
Passo 7
Segundo método: substituir
e
em
antes de diferenciar. Primeiro escrevemos
em função explícita de
e
:
Passo 8
Diferenciar
em relação a
(mantendo
fixo). Aplicando derivada termo a termo e a regra do produto simples:
Somando:
o mesmo resultado obtido antes.
Passo 9
Diferenciar
em relação a
(mantendo
fixo). Aplicando derivada de
e
:
Somando:
ou seja
de novo o mesmo resultado.
Passo 10
Comentário final e motivacional curto: as duas abordagens são equivalentes (como deveria acontecer). A regra da cadeia é útil quando a forma de
em
é simples (aqui quadrática) e as transformações
têm derivadas fáceis; substituir primeiro pode ser mais direto quando
já simplifica-se ao substituir (como aconteceu aqui). Boa notícia: os resultados ficaram bem simples:
e
— anota isso para a prova, respira, você consegue!