Questão 100: Seja C a curva de interseção das superfícies z=x^{2}+y^{2} e z=4. Calcule a derivada direcional de f(x, y, z)=x y z num ponto P pertencente a C, na direção do vetor tangente a C em P.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá a curva C obtida pela interseção das superfícies \;z=x^{2}+y^{2}\; e \;z=4\;.
  • A interseção implica que na curva vale \;x^{2}+y^{2}=4\; e \;z=4.\n
  • A função dada é \;f(x,y,z)=x y z.\n
  • O pedido: calcular a derivada direcional de f num ponto P\in C na direção do vetor tangente a C em P.
Dados então: um ponto genérico P da curva pode ser escrito como \;P=(x_{0},y_{0},4)\; com \;x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4. A partir daqui vamos construir o vetor tangente em P, normalizá‑lo (para obter a direção) e calcular a derivada direcional de f nesse sentido.

Passo 2

Encontrar um vetor tangente a C em P.
  • Uma maneira direta é parametrizar a curva C. Como \;x^{2}+y^{2}=4\; e \;z=4, uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(t)=(2\cos t,\;2\sin t,\;4).
  • Derivando em t obtemos o vetor tangente à curva:
\mathbf{r}'(t)=(-2\sin t,\;2\cos t,\;0).
  • Se P corresponde ao parâmetro t_{0}, então \;x_{0}=2\cos t_{0}\;,\;y_{0}=2\sin t_{0}\; e
\mathbf{r}'(t_{0})=(-2\sin t_{0},\;2\cos t_{0},\;0)=(-y_{0},\;x_{0},\;0).
Portanto um vetor tangente em P é
\mathbf{v}=(-y_{0},\;x_{0},\;0).

Passo 3

Normalizar o vetor tangente para obter o vetor diretor unitário.
  • O comprimento de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-y_{0})^{2}+(x_{0})^{2}+0^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}.
  • Como \;x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4\;, segue \;\|\mathbf{v}\|=2.\n
  • Logo o vetor unitário na direção tangente é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(-\frac{y_{0}}{2},\;\frac{x_{0}}{2},\;0\right).
Observação rápida (por que normalizar?): pela definição padrão, a derivada direcional na direção de um vetor refere‑se normalmente à direção unitária; usamos \;D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}\;.

Passo 4

Calcular o gradiente de f e avaliá‑lo em P.
  • As derivadas parciais de f(x,y,z)=x y z são:
\frac{\partial f}{\partial x}=y z,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x z,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=x y.
  • Assim o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=(y z,\;x z,\;x y).
  • Avaliando em P=(x_{0},y_{0},4) obtemos
\nabla f(P)=(4y_{0},\;4x_{0},\;x_{0}y_{0}).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
  • Compute passo a passo:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} = (4y_{0},\;4x_{0},\;x_{0}y_{0})\cdot\left(-\frac{y_{0}}{2},\;\frac{x_{0}}{2},\;0\right).
  • Fazendo o produto escalar:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u} =4y_{0}\left(-\frac{y_{0}}{2}\right)+4x_{0}\left(\frac{x_{0}}{2}\right)+x_{0}y_{0}\cdot 0.
  • Simplificando cada termo:
4y_{0}\left(-\frac{y_{0}}{2}\right)=-2y_{0}^{2},\qquad 4x_{0}\left(\frac{x_{0}}{2}\right)=2x_{0}^{2}.
  • Somando:
D_{\mathbf{u}}f(P)=2x_{0}^{2}-2y_{0}^{2}=2\bigl(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\bigr).

Passo 6

Dar formas alternativas e um comentário final para ficar seguro.
  • Usando \;x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4\; pode‑se reescrever a resposta em outras formas, por exemplo
2(x_{0}^{2}-y_{0}^{2})=4x_{0}^{2}-8=8-4y_{0}^{2},
dependendo da coordenada escolhida para expressar o resultado.
  • Se preferir em termos do parâmetro t_{0} com x_{0}=2\cos t_{0} e y_{0}=2\sin t_{0}, então
D_{\mathbf{u}}f(P)=2\bigl(4\cos^{2}t_{0}-4\sin^{2}t_{0}\bigr)=8\cos 2t_{0}.

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(P)=2\bigl(x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\bigr)

Exercícios relacionados