Questão 100: Seja
a curva de interseção das superfícies
e
. Calcule a derivada direcional de
num ponto
pertencente a
, na direção do vetor tangente a
em
.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos dá a curva
obtida pela interseção das superfícies e . - A interseção implica que na curva vale
e .\n - A função dada é
.\n - O pedido: calcular a derivada direcional de
num ponto na direção do vetor tangente a em .
Dados então: um ponto genérico
da curva pode ser escrito como
com
. A partir daqui vamos construir o vetor tangente em
, normalizá‑lo (para obter a direção) e calcular a derivada direcional de
nesse sentido.
Passo 2
Encontrar um vetor tangente a
em
.
- Uma maneira direta é parametrizar a curva
. Como e , uma parametrização conveniente é
- Derivando em
obtemos o vetor tangente à curva:
- Se
corresponde ao parâmetro , então e
Portanto um vetor tangente em
é
Passo 3
Normalizar o vetor tangente para obter o vetor diretor unitário.
- O comprimento de
é
- Como
, segue .\n - Logo o vetor unitário na direção tangente é
Observação rápida (por que normalizar?): pela definição padrão, a derivada direcional na direção de um vetor refere‑se normalmente à direção unitária; usamos
.
Passo 4
Calcular o gradiente de
e avaliá‑lo em
.
- As derivadas parciais de
são:
- Assim o gradiente é
- Avaliando em
obtemos
Passo 5
Calcular a derivada direcional como produto escalar
.
- Compute passo a passo:
- Fazendo o produto escalar:
- Simplificando cada termo:
- Somando:
Passo 6
Dar formas alternativas e um comentário final para ficar seguro.
- Usando
pode‑se reescrever a resposta em outras formas, por exemplo
dependendo da coordenada escolhida para expressar o resultado.
- Se preferir em termos do parâmetro
com e , então