Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede para encontrar
e
por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo
e
em
antes de derivar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
é escrita em termos de e . - As variáveis
e são funções de . - Queremos as derivadas parciais de
em relação a e .
Passo 2
Vamos lembrar a regra da cadeia para funções compostas (explicação didática): se
com
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é obtida somando as contribuições da variação de
e de
quando
varia, mantendo
fixo. A fórmula é
Analogamente,
Aqui cada termo tem o seguinte significado:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada de em relação a , tratando como constante. - E assim por diante. Esta fórmula é uma aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis: varia-se
em função de e , e cada um desses depende de e .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais básicas de
em relação a
e
(aqui trato
e
como variáveis independentes):
Derivando em relação a
(com
fixo):
porque a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
.
Derivando em relação a (com
fixo):
Derivando em relação a
porque
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, usando as fórmulas dadas:
e
.
Derivando :
Derivando
porque
é produto
.
Derivando :
Derivando
pois
e
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia (método (a)). Primeiro para
:
Substituindo os termos que já achamos:
Ou seja,
Como queremos a resposta em função de
e
, substituímos
:
Fazendo a multiplicação:
Poder-se reorganiza se quiser, por exemplo
Passo 6
Agora
pelo mesmo método (a):
Substituindo:
Logo
Substituindo
:
Distribuindo:
Ou reordenando:
Passo 7
Agora fazemos o método (b): primeiro substituímos
e
em
e só depois derivamos. Substituição direta:
Portanto
Isto é uma função explícita de
e
, então podemos derivar como em cálculo de funções de duas variáveis (tratando a variável não diferenciada como constante).
Passo 8
Derivando
em relação a
(método (b)), com
fixo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo (uso da regra da cadeia para funções de uma variável composta):
Aqui
(pois
é constante). Então
Somando com o primeiro termo:
que é exatamente o mesmo resultado obtido no método (a). Expandindo dá
Passo 9
Derivando
em relação a
(método (b)), com
fixo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Aqui
. Então
Somando:
novamente coincidente com o método (a).
Passo 10
Conclusão: os dois métodos dão o mesmo resultado, conforme esperado. Respire fundo — deu trabalho, mas ficou limpinho. Você pode usar qualquer um dos métodos na prova; a regra da cadeia é mais direta quando já conhece as derivadas parciais
, e a substituição às vezes facilita visualizar a função final em
.