Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
u=3 x-4 y^{2} ; x=5 p q ; y=3 p^{2}-2 q ; \frac{\partial u}{\partial p} ; \frac{\partial u}{\partial q}

Passo 1

O enunciado dá as funções
u=3x-4y^{2},\qquad x=5pq,\qquad y=3p^{2}-2q
e pede para encontrar \dfrac{\partial u}{\partial p} e \dfrac{\partial u}{\partial q} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) substituindo x e y em u antes de derivar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função u é escrita em termos de x e y.
  • As variáveis x e y são funções de (p,q).
  • Queremos as derivadas parciais de u em relação a p e q.

Passo 2

Vamos lembrar a regra da cadeia para funções compostas (explicação didática): se u=u(x,y) com x=x(p,q) e y=y(p,q), então a derivada parcial de u em relação a p é obtida somando as contribuições da variação de x e de y quando p varia, mantendo q fixo. A fórmula é
\frac{\partial u}{\partial p}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial p}.
Analogamente,
\frac{\partial u}{\partial q}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial q}.
Aqui cada termo tem o seguinte significado:
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial x}{\partial p} é a derivada de x em relação a p, tratando q como constante.
  • E assim por diante. Esta fórmula é uma aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis: varia-se u em função de x e y, e cada um desses depende de p e q.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais básicas de u em relação a x e y (aqui trato x e y como variáveis independentes):
u=3x-4y^{2}.
Derivando em relação a x (com y fixo):
\frac{\partial u}{\partial x}=3,
porque a derivada de 3x em relação a x é 3 e a derivada de -4y^{2} em relação a x é 0.
Derivando em relação a y (com x fixo):
\frac{\partial u}{\partial y}=-8y,
porque \dfrac{d}{dy}(-4y^{2})=-8y e \dfrac{d}{dy}(3x)=0.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a p e q, usando as fórmulas dadas: x=5pq e y=3p^{2}-2q.
Derivando x:
\frac{\partial x}{\partial p}=5q,\qquad \frac{\partial x}{\partial q}=5p,
porque x é produto 5\cdot p\cdot q.
Derivando y:
\frac{\partial y}{\partial p}=6p,\qquad \frac{\partial y}{\partial q}=-2,
pois \dfrac{d}{dp}(3p^{2})=6p e \dfrac{d}{dq}(-2q)=-2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia (método (a)). Primeiro para \dfrac{\partial u}{\partial p}:
\frac{\partial u}{\partial p}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial p}.
Substituindo os termos que já achamos:
\frac{\partial u}{\partial p}=3\cdot(5q)+(-8y)\cdot(6p).
Ou seja,
\frac{\partial u}{\partial p}=15q-48py.
Como queremos a resposta em função de p e q, substituímos y=3p^{2}-2q:
\frac{\partial u}{\partial p}=15q-48p(3p^{2}-2q).
Fazendo a multiplicação:
\frac{\partial u}{\partial p}=15q-144p^{3}+96pq.
Poder-se reorganiza se quiser, por exemplo
\frac{\partial u}{\partial p}=-144p^{3}+96pq+15q.

Passo 6

Agora \dfrac{\partial u}{\partial q} pelo mesmo método (a):
\frac{\partial u}{\partial q}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial q}.
Substituindo:
\frac{\partial u}{\partial q}=3\cdot(5p)+(-8y)\cdot(-2).
Logo
\frac{\partial u}{\partial q}=15p+16y.
Substituindo y=3p^{2}-2q:
\frac{\partial u}{\partial q}=15p+16(3p^{2}-2q).
Distribuindo:
\frac{\partial u}{\partial q}=15p+48p^{2}-32q.
Ou reordenando:
\frac{\partial u}{\partial q}=48p^{2}+15p-32q.

Passo 7

Agora fazemos o método (b): primeiro substituímos x e y em u e só depois derivamos. Substituição direta:
u(p,q)=3x-4y^{2}=3(5pq)-4(3p^{2}-2q)^{2}.
Portanto
u(p,q)=15pq-4(3p^{2}-2q)^{2}.
Isto é uma função explícita de p e q, então podemos derivar como em cálculo de funções de duas variáveis (tratando a variável não diferenciada como constante).

Passo 8

Derivando u(p,q) em relação a p (método (b)), com q fixo:
Derivada do primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial p}(15pq)=15q.
Derivada do segundo termo (uso da regra da cadeia para funções de uma variável composta):
\frac{\partial}{\partial p}\big[-4(3p^{2}-2q)^{2}\big]=-4\cdot 2(3p^{2}-2q)\cdot\frac{\partial}{\partial p}(3p^{2}-2q).
Aqui \dfrac{\partial}{\partial p}(3p^{2}-2q)=6p (pois q é constante). Então
\frac{\partial}{\partial p}\big[-4(3p^{2}-2q)^{2}\big]=-8(3p^{2}-2q)\cdot 6p=-48p(3p^{2}-2q).
Somando com o primeiro termo:
\frac{\partial u}{\partial p}=15q-48p(3p^{2}-2q),
que é exatamente o mesmo resultado obtido no método (a). Expandindo dá
\frac{\partial u}{\partial p}=-144p^{3}+96pq+15q.

Passo 9

Derivando u(p,q) em relação a q (método (b)), com p fixo:
Derivada do primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial q}(15pq)=15p.
Derivada do segundo termo:
\frac{\partial}{\partial q}\big[-4(3p^{2}-2q)^{2}\big]=-4\cdot 2(3p^{2}-2q)\cdot\frac{\partial}{\partial q}(3p^{2}-2q).
Aqui \dfrac{\partial}{\partial q}(3p^{2}-2q)=-2. Então
\frac{\partial}{\partial q}\big[-4(3p^{2}-2q)^{2}\big]=-8(3p^{2}-2q)\cdot(-2)=16(3p^{2}-2q).
Somando:
\frac{\partial u}{\partial q}=15p+16(3p^{2}-2q)=48p^{2}+15p-32q,
novamente coincidente com o método (a).

Passo 10

Conclusão: os dois métodos dão o mesmo resultado, conforme esperado. Respire fundo — deu trabalho, mas ficou limpinho. Você pode usar qualquer um dos métodos na prova; a regra da cadeia é mais direta quando já conhece as derivadas parciais u_x,u_y, e a substituição às vezes facilita visualizar a função final em p,q.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial p}=-144p^{3}+96pq+15q
\frac{\partial u}{\partial q}=48p^{2}+15p-32q

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