Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituicōes de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes funções e pede duas derivadas parciais:
-
. -
. -
.
As perguntas são:
- Calcular
por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de e antes de derivar. - Calcular
pelos mesmos dois métodos.
Vou apresentar passo a passo cada método para as duas derivadas e mostrar que os resultados coincidem.
Passo 2
Conceitos e notação (aula rápida e intuitiva).
- Derivada parcial:
significa derivar em relação a mantendo constante. Similar para . - Quando
depende de e , e dependem de , usa-se a regra da cadeia para parciais:
- Na notação,
é às vezes escrita ; é , etc.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia — primeiro calculamos as derivadas parciais parciais básicas.
Derivando em relação a
e
:
Derivando
Derivando
e
em relação a
e
:
Passo 4
Regra da cadeia — cálculo de
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Substituindo os valores obtidos:
Aqui temos uma forma em termos de
. Se quiser escrever só em
e
, substituímos
:
Organizando termos:
Passo 5
Regra da cadeia — cálculo de
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Substituindo:
Substituindo
para ficar em
:
Organizando:
Passo 6
Método (b): primeiro substituir
e
em
, obtendo
diretamente como função de
, depois derivar.
Substituindo e
em
:
Substituindo
Agora expandimos
:
Multiplicando por
e somando
:
Passo 7
Derivando
diretamente — cálculo de
e
.
Derivada parcial em relação a (tratando
como constante):
Derivada parcial em relação a
Calculando termo a termo:
Portanto
que rearranjado é
o mesmo resultado do Passo 4.
Derivada parcial em relação a
(tratando
como constante):
Calculando termo a termo:
Observe o sinal: o último termo em
é
, então sua derivada é
. Portanto
igual ao resultado do Passo 5.
Passo 8
Conclusão e dica rápida para a prova.
- Os dois métodos deram exatamente o mesmo resultado (como deve acontecer).
- Dica prática: a regra da cadeia é frequentemente mais rápida quando
é simples em e as derivadas de são simples; a substituição direta ajuda a verificar cálculos e é obrigatória quando quiser a expressão completa em . - Não esqueça de tratar
como constante ao derivar em relação a e vice-versa.