Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituicōes de x e y antes da diferenciação.
u=3 x-4 y^{2} ; x=5 p q ; y=3 p^{2}-2 q ; \frac{\partial u}{\partial p} ; \frac{\partial u}{\partial q}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes funções e pede duas derivadas parciais:
  • u=3x-4y^{2}.
  • x=5pq.
  • y=3p^{2}-2q.
As perguntas são:
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial p} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes de derivar.
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial q} pelos mesmos dois métodos.
Vou apresentar passo a passo cada método para as duas derivadas e mostrar que os resultados coincidem.

Passo 2

Conceitos e notação (aula rápida e intuitiva).
  • Derivada parcial: \dfrac{\partial u}{\partial p} significa derivar u em relação a p mantendo q constante. Similar para \dfrac{\partial u}{\partial q}.
  • Quando u depende de x e y, e x,y dependem de p,q, usa-se a regra da cadeia para parciais:
\dfrac{\partial u}{\partial p}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial p}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial p}, \qquad \dfrac{\partial u}{\partial q}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial q}+\dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial q}.
  • Na notação, \dfrac{\partial u}{\partial x} é às vezes escrita u_x; \dfrac{\partial x}{\partial p} é x_p, etc.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia — primeiro calculamos as derivadas parciais parciais básicas.
Derivando u=3x-4y^{2} em relação a x e y:
\dfrac{\partial u}{\partial x}=3, \qquad \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{d}{dy}(-4y^{2})=-8y.
Derivando x e y em relação a p e q:
\dfrac{\partial x}{\partial p}=\dfrac{\partial}{\partial p}(5pq)=5q, \qquad \dfrac{\partial x}{\partial q}=5p,
\dfrac{\partial y}{\partial p}=\dfrac{\partial}{\partial p}(3p^{2}-2q)=6p, \qquad \dfrac{\partial y}{\partial q}=\dfrac{\partial}{\partial q}(3p^{2}-2q)=-2.

Passo 4

Regra da cadeia — cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial p}.
Usando a fórmula:
\dfrac{\partial u}{\partial p}= \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\dfrac{\partial x}{\partial p}\right)+\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)\left(\dfrac{\partial y}{\partial p}\right).
Substituindo os valores obtidos:
\dfrac{\partial u}{\partial p}=3\cdot(5q)+(-8y)\cdot(6p)=15q-48py.
Aqui temos uma forma em termos de y. Se quiser escrever só em p e q, substituímos y=3p^{2}-2q:
\dfrac{\partial u}{\partial p}=15q-48p(3p^{2}-2q)=15q-144p^{3}+96pq.
Organizando termos:
\dfrac{\partial u}{\partial p}=-144p^{3}+96pq+15q.

Passo 5

Regra da cadeia — cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial q}.
Usando a fórmula:
\dfrac{\partial u}{\partial q}= \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)\left(\dfrac{\partial x}{\partial q}\right)+\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)\left(\dfrac{\partial y}{\partial q}\right).
Substituindo:
\dfrac{\partial u}{\partial q}=3\cdot(5p)+(-8y)\cdot(-2)=15p+16y.
Substituindo y=3p^{2}-2q para ficar em p,q:
\dfrac{\partial u}{\partial q}=15p+16(3p^{2}-2q)=15p+48p^{2}-32q.
Organizando:
\dfrac{\partial u}{\partial q}=48p^{2}+15p-32q.

Passo 6

Método (b): primeiro substituir x e y em u, obtendo u diretamente como função de p,q, depois derivar.
Substituindo x=5pq e y=3p^{2}-2q em u=3x-4y^{2}:
u(p,q)=3(5pq)-4(3p^{2}-2q)^{2}=15pq-4(3p^{2}-2q)^{2}.
Agora expandimos (3p^{2}-2q)^{2}:
(3p^{2}-2q)^{2}=9p^{4}-12p^{2}q+4q^{2}.
Multiplicando por -4 e somando 15pq:
u(p,q)=15pq-4\bigl(9p^{4}-12p^{2}q+4q^{2}\bigr)=15pq-36p^{4}+48p^{2}q-16q^{2}.

Passo 7

Derivando u(p,q) diretamente — cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial p} e \dfrac{\partial u}{\partial q}.
Derivada parcial em relação a p (tratando q como constante):
\dfrac{\partial u}{\partial p}=\dfrac{\partial}{\partial p}(15pq)-\dfrac{\partial}{\partial p}(36p^{4})+\dfrac{\partial}{\partial p}(48p^{2}q)-\dfrac{\partial}{\partial p}(16q^{2}).
Calculando termo a termo:
\dfrac{\partial}{\partial p}(15pq)=15q, \qquad \dfrac{\partial}{\partial p}(36p^{4})=144p^{3},
\dfrac{\partial}{\partial p}(48p^{2}q)=96pq, \qquad \dfrac{\partial}{\partial p}(16q^{2})=0.
Portanto
\dfrac{\partial u}{\partial p}=15q-144p^{3}+96pq,
que rearranjado é
\dfrac{\partial u}{\partial p}=-144p^{3}+96pq+15q,
o mesmo resultado do Passo 4.
Derivada parcial em relação a q (tratando p como constante):
\dfrac{\partial u}{\partial q}=\dfrac{\partial}{\partial q}(15pq)-\dfrac{\partial}{\partial q}(36p^{4})+\dfrac{\partial}{\partial q}(48p^{2}q)-\dfrac{\partial}{\partial q}(16q^{2}).
Calculando termo a termo:
\dfrac{\partial}{\partial q}(15pq)=15p, \qquad \dfrac{\partial}{\partial q}(36p^{4})=0,
\dfrac{\partial}{\partial q}(48p^{2}q)=48p^{2}, \qquad \dfrac{\partial}{\partial q}(16q^{2})=32q.
Observe o sinal: o último termo em u(p,q) é -16q^{2}, então sua derivada é -32q. Portanto
\dfrac{\partial u}{\partial q}=15p+48p^{2}-32q,
igual ao resultado do Passo 5.

Passo 8

Conclusão e dica rápida para a prova.
  • Os dois métodos deram exatamente o mesmo resultado (como deve acontecer).
  • Dica prática: a regra da cadeia é frequentemente mais rápida quando u é simples em x,y e as derivadas de x,y são simples; a substituição direta ajuda a verificar cálculos e é obrigatória quando quiser a expressão completa em p,q.
  • Não esqueça de tratar q como constante ao derivar em relação a p e vice-versa.

Resposta

\dfrac{\partial u}{\partial p}=-144p^{3}+96pq+15q
\dfrac{\partial u}{\partial q}=48p^{2}+15p-32q

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