Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia:
u=x^2+x y ; x=r^2+s^2 ; y=3 r 2 s ; partial upartial r ; partial upartial s.

Passo 1

A gente tem uma função composta: u = x^2 + x y, com x = r^2 + s^2 e y = 3r^2 s. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: vamos precisar de partial upartial x, partial upartial y e também de partial xpartial r, partial xpartial s, partial ypartial r, partial ypartial s.

Passo 2

Primeiro, derivamos u em relação a x e y:
partial upartial x = 2x + y,
partial upartial y = x

Passo 3

Agora, derivamos x e y em relação a r e s:
partial xpartial r = 2r, partial xpartial s = 2s,
partial ypartial r = 6rs, partial ypartial s = 3r^2

Passo 4

Para partial upartial r usamos a regra da cadeia:
partial upartial r = partial upartial xpartial xpartial r + partial upartial ypartial ypartial r
Substituindo tudo:
partial upartial r = (2x+y)cdot(2r) + xcdot(6rs)
Agora colocamos x = r^2 + s^2 e y = 3r^2s e expandimos:
partial upartial r = 2rl(2(r^2+s^2)+3r^2sr) + 6rs(r^2+s^2)
= 4r^3 + 4r s^2 + 6r^3s + 6r^3s + 6r s^3
= 4r^3 + 4r s^2 + 12r^3s + 6r s^3

Passo 5

Para partial upartial s aplicamos a mesma ideia:
partial upartial s = partial upartial xpartial xpartial s + partial upartial ypartial ypartial s
Substituindo:
partial upartial s = (2x+y)cdot(2s) + xcdot(3r^2)
= 2sl(2(r^2+s^2)+3r^2sr) + 3r^2(r^2+s^2)
= 4r^2s + 4s^3 + 6r^2s^2 + 3r^4 + 3r^2s^2
= 3r^4 + 4r^2s + 9r^2s^2 + 4s^3

Resposta

partial upartial r = 4r^3 + 4r s^2 + 12r^3s + 6r s^3, partial upartial s = 3r^4 + 4r^2s + 9r^2s^2 + 4s^3

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