Determinar d ud t, usando a regra da cadeia:
u=x y, x=t^2+1, y=sen(t).

Passo 1

O exercício pede para encontrar du/dt quando u = x y, com x = t^2 + 1 e y = sin(t). O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis, usando derivadas parciais e as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u e as derivadas de x e y:
A definição de u é u(x,y)=x,y, então
partial upartial x=y
partial upartial y=x
Como x = t^2+1 e y = sin(t), temos
dxdt=2t
dydt=cos(t)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para u(x(t),y(t)):
dudt=partial upartial xdxdt+partial upartial ydydt
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
dudt=y,(2t)+x,cos(t)

Passo 4

Por fim, voltamos às expressões de x e y em função de t:
dudt=2t,sin(t)+(t^2+1),cos(t)

Resposta

dudt=2t,sin(t)+(t^2+1),cos(t)

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