Calcule as derivadas de segunda ordem da função f dada por:
f(x, y)=e^x cos (y)+arctg(x) cdot ln (y).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função . O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem, e vamos precisar das regras de derivação de exponencial, trigonométrica, logarítmica e da arctangente, além da regra do produto.

Passo 2

Calcular fx: Derivando e^xcos(y) em relação a x temos e^xcos(y) pois cos(y) é constante. Para , a arctg(x)ln(y) é constante e . Assim,
ln(y)

Passo 3

Calcular fy: Derivando e^xcos(y) em relação a y vem -e^xsin(y). Para , a é constante e arctg(x)ln(y). Logo,

Passo 4

Calcular fxx: Derivando fx=e^xcos(y)+ln(y)1+x^2 em relação a x:
fxx=e^xcos(y)-ln(y)cdot2x(1+x^2)^2

Passo 5

Calcular fxy: Derivando fx em relação a y: o termo e^xcos(y) vira -e^xsin(y) e ln(y)1+x^2 1(1+x^2)y. Portanto,
fxy=-e^xsin(y)+1(1+x^2),y

Passo 6

Como f é suficientemente suave, vale fyx=fxy.

Passo 7

Calcular fyy: Derivando em relação a fy=-e^xsin(y)+arctg(x)y:

Resposta

As derivadas de segunda ordem são:

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