Calcule as derivadas de segunda ordem da função f dada por:
f(x, y)=arctg(y / x)+e^-x / y+tg(y / x).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=arctg(y/x)+e^{−x/y}+tg(y/x).
O conteúdo envolve cálculos de derivadas parciais, uso da regra da cadeia e das derivadas conhecidas de arctg(u), tg(u) e e^v.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando u=y/x e v=−x/y, além da regra da cadeia:

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a x para obter f_{xx}. Separando em três parcelas e aplicando derivadas de quociente e da regra da cadeia, obtemos:

Passo 4

Em seguida derivamos f_x em relação a y para achar f_{xy}. Fazendo a derivação termo a termo, chega-se a:

Passo 5

Por fim, derivamos f_y em relação a y para obter f_{yy}. Aplicando as mesmas técnicas, encontramos:

Resposta

As derivadas de segunda ordem são:

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