Calcule as derivadas de segunda ordem da função
dada por:
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=arctg(y/x)+e^{−x/y}+tg(y/x).
O conteúdo envolve cálculos de derivadas parciais, uso da regra da cadeia e das derivadas conhecidas de arctg(u), tg(u) e e^v.
f(x,y)=arctg(y/x)+e^{−x/y}+tg(y/x).
O conteúdo envolve cálculos de derivadas parciais, uso da regra da cadeia e das derivadas conhecidas de arctg(u), tg(u) e e^v.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando u=y/x e v=−x/y, além da regra da cadeia:
Passo 3
Agora derivamos f_x em relação a x para obter f_{xx}. Separando em três parcelas e aplicando derivadas de quociente e da regra da cadeia, obtemos:
Passo 4
Em seguida derivamos f_x em relação a y para achar f_{xy}. Fazendo a derivação termo a termo, chega-se a:
Passo 5
Por fim, derivamos f_y em relação a y para obter f_{yy}. Aplicando as mesmas técnicas, encontramos:
Resposta
As derivadas de segunda ordem são: