Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes funções (todas dependem implicitamente de
e
):
O que se pede é calcular as derivadas parciais
Aqui as informações relevantes são as expressões de
em termos de
e as expressões de
e
em termos de
. Não há mais dados numéricos: tudo é simbólico.
Passo 2
Ideia e ferramenta (regra da cadeia para funções de várias variáveis).
Se e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas pela regra da cadeia:
Se
Explicando:
é a taxa de variação de
quando apenas
varia (mantendo
fixo);
é a taxa de
em relação a
. O produto dá a contribuição de
na variação total de
quando
muda; idem para o termo com
.
Vamos então achar
e
explicitamente para a nossa função
.
Passo 3
Cálculo de
e
.
Defina a função interna
Então
. A derivada de
é
, logo por cadeia:
Agora precisamos de
(derivada de
em relação a
, mantendo
fixo) e
.
Pelo quociente:
Pelo quociente:
Aplicando a cadeia:
Aqui cada passo é directo: derivada de
vezes derivada da razão
.
Passo 4
Cálculo das derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Das fórmulas
e
obtemos
Expliquei: para
trato
como constante ao derivar em
, daí
; ao derivar em
mantenho
fixo e obtenho
. Para
a dependência em
vem do
enquanto
é fator multiplicativo.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados.
Primeiro para
:
Substituindo
,
,
e
:
Agora vamos simplificar substituindo
e
. Primeiro note que
portanto
.
Calcule os dois termos do colchete separadamente:
Calcule os dois termos do colchete separadamente:
Termo 1:
Termo 2:
Somando os dois termos do colchete:
Logo a expressão simplificada para
(antes da seção final) é
Passo 6
Agora
. Usando a mesma fórmula da cadeia:
Substituindo:
Substituindo
e
e simplificando os termos:
Termo 1:
Termo 2:
Somando os dois termos dentro dos colchetes obtemos zero:
Portanto a derivada parcial em relação a
é identicamente zero — isto faz sentido também porque já vimos que
não depende de
, logo
é função só de
.