Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=\operatorname{cosh} \frac{y}{x} ; x=3 r^{2} s ; y=6 s e^{r} ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s} \rho

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes funções (todas dependem implicitamente de r e s):
u=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{y}{x}\right),\qquad x=3r^{2}s,\qquad y=6s e^{r}.
O que se pede é calcular as derivadas parciais
\frac{\partial u}{\partial r}\quad\text{e}\quad\frac{\partial u}{\partial s}.
Aqui as informações relevantes são as expressões de u em termos de x,y e as expressões de x e y em termos de r,s. Não há mais dados numéricos: tudo é simbólico.

Passo 2

Ideia e ferramenta (regra da cadeia para funções de várias variáveis).
Se u=u(x,y) e x=x(r,s),\,y=y(r,s), então as derivadas parciais de u em relação a r e s são dadas pela regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}, \qquad \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Explicando: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando apenas x varia (mantendo y fixo); \dfrac{\partial x}{\partial r} é a taxa de x em relação a r. O produto dá a contribuição de x na variação total de u quando r muda; idem para o termo com y.
Vamos então achar \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} explicitamente para a nossa função u=\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Defina a função interna
v=\frac{y}{x}.
Então u=\operatorname{cosh}(v). A derivada de \operatorname{cosh} é \operatorname{sinh}, logo por cadeia:
\frac{\partial u}{\partial v}=\operatorname{sinh}(v).
Agora precisamos de v_x (derivada de v em relação a x, mantendo y fixo) e v_y.
Pelo quociente:
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{x}.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right),
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui cada passo é directo: derivada de \operatorname{cosh} vezes derivada da razão y/x.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de x e y em relação a r e s.
Das fórmulas x=3r^{2}s e y=6s e^{r} obtemos
\frac{\partial x}{\partial r}=6rs,\qquad \frac{\partial x}{\partial s}=3r^{2},
\frac{\partial y}{\partial r}=6s e^{r},\qquad \frac{\partial y}{\partial s}=6 e^{r}.
Expliquei: para x=3r^{2}s trato s como constante ao derivar em r, daí x_r=3\cdot 2 r\cdot s=6rs; ao derivar em s mantenho r fixo e obtenho x_s=3r^{2}. Para y=6s e^{r} a dependência em r vem do e^{r} enquanto s é fator multiplicativo.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados.
Primeiro para \dfrac{\partial u}{\partial r}:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}.
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}, x_r e y_r:
\frac{\partial u}{\partial r}= \operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left[-\frac{y}{x^{2}}\cdot(6rs)+\frac{1}{x}\cdot(6s e^{r})\right].
Agora vamos simplificar substituindo x=3r^{2}s e y=6s e^{r}. Primeiro note que
\frac{y}{x}=\frac{6s e^{r}}{3r^{2}s}=\frac{6}{3}\frac{e^{r}}{r^{2}}= \frac{2e^{r}}{r^{2}},
portanto \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{2e^{r}}{r^{2}}\right).
Calcule os dois termos do colchete separadamente:
Termo 1:
-\frac{y}{x^{2}}\cdot(6rs) = -\frac{6s e^{r}}{(3r^{2}s)^{2}}\cdot(6rs) = -\frac{6s e^{r}}{9r^{4}s^{2}}\cdot 6rs = -\frac{36 r s^{2} e^{r}}{9 r^{4} s^{2}} = -4\frac{e^{r}}{r^{3}}.
Termo 2:
\frac{1}{x}\cdot(6s e^{r}) =\frac{6s e^{r}}{3r^{2}s} =2\frac{e^{r}}{r^{2}}.
Somando os dois termos do colchete:
-4\frac{e^{r}}{r^{3}}+2\frac{e^{r}}{r^{2}} =\frac{e^{r}}{r^{3}}\big(-4+2r\big) =\frac{2e^{r}(r-2)}{r^{3}}.
Logo a expressão simplificada para \dfrac{\partial u}{\partial r} (antes da seção final) é
\frac{\partial u}{\partial r}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{2e^{r}}{r^{2}}\right)\cdot\frac{2e^{r}(r-2)}{r^{3}}.

Passo 6

Agora \dfrac{\partial u}{\partial s}. Usando a mesma fórmula da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo:
\frac{\partial u}{\partial s}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left[-\frac{y}{x^{2}}\cdot(3r^{2})+\frac{1}{x}\cdot(6 e^{r})\right].
Substituindo x=3r^{2}s e y=6s e^{r} e simplificando os termos:
Termo 1:
-\frac{y}{x^{2}}\cdot(3r^{2}) = -\frac{6s e^{r}}{(3r^{2}s)^{2}}\cdot 3r^{2} = -\frac{6s e^{r}}{9r^{4}s^{2}}\cdot 3r^{2} = -\frac{18 s r^{2} e^{r}}{9 r^{4} s^{2}} = -2\frac{e^{r}}{r^{2}s}.
Termo 2:
\frac{1}{x}\cdot(6 e^{r}) =\frac{6 e^{r}}{3r^{2}s} =2\frac{e^{r}}{r^{2}s}.
Somando os dois termos dentro dos colchetes obtemos zero:
-2\frac{e^{r}}{r^{2}s}+2\frac{e^{r}}{r^{2}s}=0.
Portanto a derivada parcial em relação a s é identicamente zero — isto faz sentido também porque já vimos que \dfrac{y}{x}=\dfrac{2e^{r}}{r^{2}} não depende de s, logo u=\operatorname{cosh}\!\big(\dfrac{y}{x}\big)=\operatorname{cosh}\!\big(\dfrac{2e^{r}}{r^{2}}\big) é função só de r.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{2e^{r}(r-2)}{r^{3}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{2e^{r}}{r^{2}}\right)
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s}=0

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