Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes expressões (estas são as informações que vamos usar):
-
. -
. -
. -
.
O que o exercício pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. A ideia:
depende de
e cada uma destas depende de
. Então a derivada parcial de
em relação a
é a soma das contribuições via
:
De modo análogo,
Aqui
,
,
são as derivadas de
tratando as outras variáveis
como independentes (ou seja, derivadas parciais de
).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
A função é
.
- Derivada em relação a
: tratando como constantes, usar a regra da potência e da constante multiplicativa:
Explicação rápida: derivada de
é
; o restante
é multiplicador constante.
- Derivada em relação a
: tratando constantes,
Porque derivada de
é
, sobra
.
- Derivada em relação a
: tratando constantes,
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
- Para
:
(Trato
como constante ao derivar em
; ao derivar em
uso a regra do quociente ou potência
.)
- Para
:
(Produto simples: derivando em
mantemos
constante; derivando em
derivamos
e multiplicamos por
.)
- Para
:
(Análogo a
, mas
dá um sinal negativo ao derivar.)
Passo 5
Agora aplicar a regra da cadeia para
.
Primeiro escrevemos a soma:
Primeiro escrevemos a soma:
Vamos substituir
,
,
passo a passo e simplificar.
Observe que
Também
e
.
Agora cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
(Observe
.)
- Terceiro termo:
Somando:
Passo 6
Agora aplicar a regra da cadeia para
:
Substituímos novamente
e simplificamos usando
e
.
Calcule termo a termo:
- Primeiro termo:
Mas
. Então
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Os segundo e terceiro termos se cancelam:
Portanto sobra apenas o primeiro termo:
Passo 7
Verificação rápida (cheia de ócio matemático, mas ajuda a conferir): multiplicando
por
obtemos
, então
Dessa forma podemos derivar diretamente:
o que confirma os resultados obtidos pela regra da cadeia.