Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=x^{2} y z ; x=\frac{r}{s} ; y=r e^{s} ; z=r e^{-s} ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes expressões (estas são as informações que vamos usar):
  • u = x^{2} y z.
  • x = \dfrac{r}{s}.
  • y = r e^{s}.
  • z = r e^{-s}.
O que o exercício pede:
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial r}.
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial s}.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. A ideia: u depende de x,y,z e cada uma destas depende de r,s. Então a derivada parcial de u em relação a r é a soma das contribuições via x,y,z:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}.
De modo análogo,
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}, \dfrac{\partial u}{\partial z} são as derivadas de u tratando as outras variáveis x,y,z como independentes (ou seja, derivadas parciais de u(x,y,z)).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u em relação a x,y,z.
A função é u(x,y,z)=x^{2} y z.
  • Derivada em relação a x: tratando y,z como constantes, usar a regra da potência e da constante multiplicativa:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x\,y z.
Explicação rápida: derivada de x^{2} é 2x; o restante y z é multiplicador constante.
  • Derivada em relação a y: tratando x,z constantes,
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2} z.
Porque derivada de y é 1, sobra x^{2} z.
  • Derivada em relação a z: tratando x,y constantes,
\frac{\partial u}{\partial z}=x^{2} y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a r e s.
  • Para x=\dfrac{r}{s}:
\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{1}{s},\qquad \frac{\partial x}{\partial s}=-\frac{r}{s^{2}}.
(Trato s como constante ao derivar em r; ao derivar em s uso a regra do quociente ou potência r s^{-1}.)
  • Para y=r e^{s}:
\frac{\partial y}{\partial r}=e^{s},\qquad \frac{\partial y}{\partial s}=r e^{s}.
(Produto simples: derivando em r mantemos e^{s} constante; derivando em s derivamos e^{s} e multiplicamos por r.)
  • Para z=r e^{-s}:
\frac{\partial z}{\partial r}=e^{-s},\qquad \frac{\partial z}{\partial s}=-r e^{-s}.
(Análogo a y, mas e^{-s} dá um sinal negativo ao derivar.)

Passo 5

Agora aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial u}{\partial r}.
Primeiro escrevemos a soma:
\frac{\partial u}{\partial r} = (2x y z)\frac{1}{s} + (x^{2} z)(e^{s}) + (x^{2} y)(e^{-s}).
Vamos substituir x=\dfrac{r}{s}, y=r e^{s}, z=r e^{-s} passo a passo e simplificar.
Observe que
y z = (r e^{s})(r e^{-s})=r^{2} e^{s-s}=r^{2}.
Também x=\dfrac{r}{s} e x^{2}=\dfrac{r^{2}}{s^{2}}.
Agora cada termo:
  • Primeiro termo:
(2x y z)\frac{1}{s}=2x\cdot\frac{y z}{s} =2\left(\frac{r}{s}\right)\frac{r^{2}}{s} =\frac{2 r^{3}}{s^{2}}.
  • Segundo termo:
(x^{2} z)e^{s}=\left(\frac{r^{2}}{s^{2}}\right)(r e^{-s})e^{s} =\frac{r^{3}}{s^{2}}.
(Observe e^{-s}e^{s}=1.)
  • Terceiro termo:
(x^{2} y)e^{-s}=\left(\frac{r^{2}}{s^{2}}\right)(r e^{s})e^{-s} =\frac{r^{3}}{s^{2}}.
Somando:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{2 r^{3}}{s^{2}}+\frac{r^{3}}{s^{2}}+\frac{r^{3}}{s^{2}} =\frac{4 r^{3}}{s^{2}}.

Passo 6

Agora aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial u}{\partial s}:
\frac{\partial u}{\partial s} = (2x y z)\left(-\frac{r}{s^{2}}\right) + (x^{2} z)(r e^{s}) + (x^{2} y)\left(-r e^{-s}\right).
Substituímos novamente x,y,z e simplificamos usando x^{2}=\dfrac{r^{2}}{s^{2}} e y z = r^{2}.
Calcule termo a termo:
  • Primeiro termo:
(2x y z)\left(-\frac{r}{s^{2}}\right) = -\frac{2r}{s^{2}}(x y z).
Mas x y z = x\cdot(y z)=\frac{r}{s}\cdot r^{2}=\frac{r^{3}}{s}. Então
(2x y z)\left(-\frac{r}{s^{2}}\right) = -\frac{2r}{s^{2}}\cdot\frac{r^{3}}{s} = -\frac{2 r^{4}}{s^{3}}.
  • Segundo termo:
(x^{2} z)(r e^{s}) = \left(\frac{r^{2}}{s^{2}}\right)(r e^{-s})(r e^{s}) = \frac{r^{4}}{s^{2}}.
  • Terceiro termo:
(x^{2} y)(-r e^{-s}) = \left(\frac{r^{2}}{s^{2}}\right)(r e^{s})(-r e^{-s}) = -\frac{r^{4}}{s^{2}}.
Os segundo e terceiro termos se cancelam:
\frac{r^{4}}{s^{2}} - \frac{r^{4}}{s^{2}} = 0.
Portanto sobra apenas o primeiro termo:
\frac{\partial u}{\partial s} = -\frac{2 r^{4}}{s^{3}}.

Passo 7

Verificação rápida (cheia de ócio matemático, mas ajuda a conferir): multiplicando y por z obtemos y z=r^{2}, então
u = x^{2} y z = x^{2} r^{2} = \left(\frac{r}{s}\right)^{2} r^{2} = \frac{r^{4}}{s^{2}}.
Dessa forma podemos derivar diretamente:
\frac{\partial}{\partial r}\!\left(\frac{r^{4}}{s^{2}}\right)=\frac{4 r^{3}}{s^{2}},\qquad \frac{\partial}{\partial s}\!\left(\frac{r^{4}}{s^{2}}\right)=-\frac{2 r^{4}}{s^{3}},
o que confirma os resultados obtidos pela regra da cadeia.

Resposta

\dfrac{\partial u}{\partial r}=\dfrac{4 r^{3}}{s^{2}}
\dfrac{\partial u}{\partial s}=-\dfrac{2 r^{4}}{s^{3}}

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