Ache a derivada das seguintes funções votoriais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função vetorial vec r(t) = (e^3t+2),vec i + 2e^3t,vec j. O conteúdo principal é derivada de funções vetoriais, que se faz componente a componente, e precisamos lembrar a regra da cadeia para exponenciais.

Passo 2

Para funções vetoriais, vale que dfracddtl[f(t),vec u + g(t),vec vr] = f'(t),vec u + g'(t),vec v. Aqui f(t)=e^3t+2 associado a vec i e g(t)=2e^3t associado a vec j.

Passo 3

Calculando as derivadas das componentes:
Para x(t)=e^3t+2, usando regra da cadeia, temos
x'(t)=ddte^3t + 0 = 3e^3t
Para y(t)=2e^3t, temos
y'(t)=2cdot 3e^3t = 6e^3t

Passo 4

Juntando as componentes derivadas na forma vetorial, obtemos
vec r,'(t) = 3e^3t,vec i + 6e^3t,vec j

Resposta

vec r,'(t) = 3e^3t,vec i + 6e^3t,vec j

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