Seja f a função definida por
f(x)=cl 6 raiz[3]9-x^2, & se x<-1 x^3+3 x^2+4 x+14, & se -1 <= x<1 5 x^22+7 x3+1036, & se x >= 1
Calcule (se existir) f^prime(-2), f^prime(0), f^prime(-1) e f^prime(1).

Passo 1

A função é definida por partes: para x< -1, f(x)=6raiz[3]9-x^2; para -1<= x<1, f(x)=x^3+3x^2+4x+14; para x>=1, f(x)=5x^22+7x3+1036. Precisamos calcular f'(-2), f'(0), f'(-1) e f'(1). Vamos usar regra da cadeia, derivação de polinômios e verificar os pontos de quebra.

Passo 2

Para x< -1, aplicamos a regra da cadeia. Definindo g(x)=9-x^2, temos f(x)=6,g(x)^1/3 e
f'(x)=6cdot13g(x)^-2/3g'(x)=6cdot13(9-x^2)^-2/3(-2x)=-4x(9-x^2)^2/3
Logo,
f'(-2)= -4(-2)(9-(-2)^2)^2/3=85^2/3

Passo 3

Para -1, f(x) é um polinômio. Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^2+6x+4
Em particular,
f'(0)=4

Passo 4

Para checar f'(-1) e f'(1) comparamos as derivadas laterais.
Em x=-1:
f'-( -1)= -4(-1)(9-(-1)^2)^2/3=1
f'+( -1)=3(-1)^2+6(-1)+4=1
Como coincidem, f'(-1)=1.
Em x=1:
f'-(1)=3cdot1^2+6cdot1+4=13
f'+(1)=5cdot1+73=223
Como são diferentes, f'(1) não existe.

Resposta

f’(-2)=\frac{8}{5^{2/3}}, f’(0)=4, f’(-1)=1 e f’(1) não existe

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