Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.
Passo 1
Enunciado: a função é definida por partes como
f(x)= 8xx-1, & x<=-1, 2x^2+2x+4, & -11
O conteúdo é continuidade de funções por partes e precisamos checar cada ramo e os pontos de transição em x=-1 e x=1.
Passo 2
Análise de continuidade nos ramos internos: cada ramo é composto por funções contínuas em seu domínio. Para x<=-1, 8x/(x-1) não anula o denominador nesse intervalo; para -1, o polinômio 2x^2+2x+4 é contínuo em todo R; para x>1,
x^2+x-2x^3-x^2+3x-3
é contínuo em (1,infty) pois o denominador só zera em x=1, que não pertence ao ramo. Portanto não há descontinuidade interna nos intervalos abertos de cada ramo.
Passo 3
Verificação em x=-1: calculamos
limxto-1^-f(x)=8(-1)-1-1=-8-2=4,
limxto-1^+f(x)=2(-1)^2+2(-1)+4=2-2+4=4,
e o valor
f(-1)=8(-1)-1-1=4
Como todos são iguais a 4, a função é contínua em x=-1.