Seja f a função definida por
f(x)=ccc 8 xx-1, & se & x <=-1 2 x^2+2 x+4, & se & -11
Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

Enunciado: a função é definida por partes como
f(x)= 8xx-1, & x<=-1, 2x^2+2x+4, & -11
O conteúdo é continuidade de funções por partes e precisamos checar cada ramo e os pontos de transição em x=-1 e x=1.

Passo 2

Análise de continuidade nos ramos internos: cada ramo é composto por funções contínuas em seu domínio. Para x<=-1, 8x/(x-1) não anula o denominador nesse intervalo; para -1, o polinômio 2x^2+2x+4 é contínuo em todo R; para x>1,
x^2+x-2x^3-x^2+3x-3
é contínuo em (1,infty) pois o denominador só zera em x=1, que não pertence ao ramo. Portanto não há descontinuidade interna nos intervalos abertos de cada ramo.

Passo 3

Verificação em x=-1: calculamos
limxto-1^-f(x)=8(-1)-1-1=-8-2=4,
limxto-1^+f(x)=2(-1)^2+2(-1)+4=2-2+4=4,
e o valor
f(-1)=8(-1)-1-1=4
Como todos são iguais a 4, a função é contínua em x=-1.

Passo 4

Verificação em x=1: pelo ramo do meio,
limxto1^-f(x)=2cdot1^2+2cdot1+4=8
e f(1)=8. Pelo ramo de cima,
f(x)=x^2+x-2x^3-x^2+3x-3= rac(x-1)(x+2)(x-1)(x^2+3)=x+2x^2+3, x>1,
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limxto1^+f(x)=1+21+3=34
Como limxto1^-f(x)=8neq 3/4=limxto1^+f(x), existe descontinuidade em x=1.

Resposta

O único ponto de descontinuidade de f é x=1.

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