Calcule as seguintes integrais duplas por meio de integrais iteradas escolhendo, inicialmente, a ordem de integração mais conveniente.
integral duplaD x sen(y^3) d A, em que D é o triângulo com vértices (0,0),(0,2) e (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcularmos a integral de $ x \cdot \sin(y^{3}) $ sobre a região $ D $, que é um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (0,2) $ e $ (1,2) $. Vamos usar integrais iteradas, escolhendo a ordem de integração que facilita o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ D $. Ela é um triângulo no plano $ xy $ com os pontos dados. Para traçar isso, plotamos os vértices e conectamos eles:
  • De $ (0,0) $ a $ (0,2) $: uma linha vertical no eixo $ y $.
  • De $ (0,2) $ a $ (1,2) $: uma linha horizontal.
  • De $ (1,2) $ de volta a $ (0,0) $: uma linha inclinada.
Isso nos mostra que $ y $ varia de 0 a 2, e para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até a linha inclinada que liga $ (0,0) $ a $ (1,2) $.

Passo 3

Vamos encontrar a equação dessa linha inclinada. Os pontos são $ (0,0) $ e $ (1,2) $.
A fórmula da reta entre dois pontos $ (x_1,y_1) $ e $ (x_2,y_2) $ é:
(0,0)
onde $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $.
Calculando o coeficiente angular $ m $:
(1,2)
Então, a equação da reta é:
(x1,y1)
Isso significa que, para um dado $ y $, $ x $ vai de 0 até $ \frac{y}{2} $.

Passo 4

Agora, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Decidimos integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $:
x

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
x
Aqui, $ \sin(y^{3}) $ é tratado como uma constante em relação a $ x $:
integral0^y2 x cdot sin(y^3) , dx
Então, a integral dupla se simplifica para:
sin(y^3)

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em $ y $:
y
Aqui, percebemos que podemos usar uma substituição $ u = y^{3} $. Então:
18 integral0^2 y^2 cdot sin(y^3) , dy
Mudando os limites de integração:
  • Quando $ y = 0 $, $ u = 0 $.
  • Quando $ y = 2 $, $ u = 8 $.
A integral fica:
u = y^3
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então:
du = 3y^2 dy Rightarrow y^2 dy = du3

Resposta

A integral dupla vale $ \frac{1 - \cos(8)}{24} $.

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