Calcule as seguintes integrais duplas por meio de integrais iteradas escolhendo, inicialmente, a ordem de integração mais conveniente.
, em que
é o triângulo com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcularmos a integral de $ x \cdot \sin(y^{3}) $ sobre a região $ D $, que é um triângulo com vértices em $ (0,0) $, $ (0,2) $ e $ (1,2) $. Vamos usar integrais iteradas, escolhendo a ordem de integração que facilita o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ D $. Ela é um triângulo no plano $ xy $ com os pontos dados. Para traçar isso, plotamos os vértices e conectamos eles:
- De $ (0,0) $ a $ (0,2) $: uma linha vertical no eixo $ y $.
- De $ (0,2) $ a $ (1,2) $: uma linha horizontal.
- De $ (1,2) $ de volta a $ (0,0) $: uma linha inclinada.
Isso nos mostra que $ y $ varia de 0 a 2, e para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até a linha inclinada que liga $ (0,0) $ a $ (1,2) $.
Passo 3
Vamos encontrar a equação dessa linha inclinada. Os pontos são $ (0,0) $ e $ (1,2) $.
A fórmula da reta entre dois pontos $ (x_1,y_1) $ e $ (x_2,y_2) $ é:
onde $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $.
Calculando o coeficiente angular $ m $:
Então, a equação da reta é:
Isso significa que, para um dado $ y $, $ x $ vai de 0 até $ \frac{y}{2} $.
Passo 4
Agora, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Decidimos integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ x $:
Aqui, $ \sin(y^{3}) $ é tratado como uma constante em relação a $ x $:
Então, a integral dupla se simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em $ y $:
Aqui, percebemos que podemos usar uma substituição $ u = y^{3} $. Então:
Mudando os limites de integração:
- Quando $ y = 0 $, $ u = 0 $.
- Quando $ y = 2 $, $ u = 8 $.
A integral fica:
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $, então:
Resposta
A integral dupla vale $ \frac{1 - \cos(8)}{24} $.