Ache as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
Isso cai em logaritmo e regra da cadeia: vamos usar que a derivada de
Passo 2
Primeiro, escrevo o logaritmo como diferença:
Assim aplico a derivada de cada ln.
Passo 3
Calculo as derivadas internas:
Seja , então
.
Seja , então
.
Logo,
Seja
Seja
Logo,
$$f’(x)=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\Bigl(\frac{u’}{u}-\frac{v’}{v}\Bigr)=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\Bigl(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+x\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-x\sqrt{b}}\Bigr).
$$
Passo 4
Agora simplifico: fatoro
e somo as frações: