Ache as derivadas das funções:
f(x)=12 raiza b ln raiza+x raizbraiza-x raizb(a>0),(b>0)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=12raizablnraiza+xraizbraiza-xraizb, a>0,;b>0
Isso cai em logaritmo e regra da cadeia: vamos usar que a derivada de ln(u) é u'/u.

Passo 2

Primeiro, escrevo o logaritmo como diferença:
f(x)=12raizabl(ln(raiza+xraizb)-ln(raiza-xraizb)r)
Assim aplico a derivada de cada ln.

Passo 3

Calculo as derivadas internas:
Seja u=raiza+xraizb, então u'=raizb.
Seja v=raiza-xraizb, então v'=-raizb.
Logo,
$$f’(x)=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\Bigl(\frac{u’}{u}-\frac{v’}{v}\Bigr)=\frac{1}{2\sqrt{ab}}\Bigl(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+x\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-x\sqrt{b}}\Bigr).
$$

Passo 4

Agora simplifico: fatoro raizb/(2raizab)=1/(2raiza) e somo as frações:
12raizal(1raiza+xraizb+1raiza-xraizbr) =12raizacdot2raizaa-bx^2 =1a-bx^2

Resposta

f'(x)=1a-bx^2

Exercícios relacionados