Ache as derivadas das funções:
f(x)=ln (ln (ln x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta f(x)=ln(ln(ln x)), que envolve aplicações sucessivas da regra da cadeia em funções do tipo ln(x). Vamos usar a definição de derivada de ln(u) e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro identificamos a função mais interna g(x)=ln x. Sabemos que a derivada de ln(x) é
g'(x)=ddxl(ln xr)=1x

Passo 3

Em seguida definimos h(x)=ln(g(x))=ln(ln x). Aplicando a regra da cadeia em h(x)=ln(u) com u=g(x), temos
h'(x)=1g(x)cdot g'(x)=1ln xcdot1x=1x,ln x

Passo 4

Por fim, f(x)=ln(h(x))=ln(ln(ln x)). De novo usando a regra da cadeia em f(x)=ln(v) com v=h(x), obtemos
f'(x)=1h(x)cdot h'(x)=1ln(ln x)cdot1x,ln x=1x,ln x,ln(ln x)

Resposta

f'(x)=1x,ln x,ln(ln x)

Exercícios relacionados