Ache as derivadas das funções:
f(x)=ln 3 sin x+cos x3^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=ln 3,sin x+cos x3^x. O conteúdo envolvido é derivação de funções trigonométricas e exponenciais, além de aplicação da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 2

Para simplificar, reescrevemos f(x) usando exponencial negativa:
f(x)=(ln 3,sin x+cos x)cdot3^-x
Assim evitamos a regra do quociente e usamos diretamente a regra do produto.

Passo 3

Agora derivamos cada fator separadamente:
  • Seja g(x)=ln 3,sin x+cos x. Então g'(x)=ln 3,cos x - sin x,
    pois ddxsin x=cos x e ddxcos x=-sin x.
    - Seja h(x)=3^-x. Como ddxa^u=a^uln a,u', temos
    h'(x)=3^-xln 3cdot(-1)=-ln 3,3^-x

Passo 4

Aplicando a regra do produto (gh)'=g'h+gh', obtemos
f'(x)=l(ln 3,cos x - sin xr)3^-x + (ln 3,sin x+cos x)(-ln 3)3^-x

Passo 5

Fatorando 3^-x e agrupando termos:
f'(x)=3^-xl[ln 3,cos x - sin x - (ln 3)^2,sin x - ln 3,cos xr]
Os termos +ln 3,cos x e -ln 3,cos x cancelam, sobrando
f'(x)=3^-xl[-sin x - (ln 3)^2sin xr]=-l(1+(ln 3)^2r)sin x,3^-x

Resposta

f'(x)=-l(1+(ln 3)^2r)sin x3^x

Exercícios relacionados