g(x)=raizx ln x;
x=1,0,50,1,0,05,0,01,0,005,0,001 ;
lim x 0^+ raizx ln x

Passo 1

Resumo do enunciado e matéria envolvida: temos a função g(x)=raizxln x e queremos o comportamento de g(x) quando xto0^+. O conteúdo aqui envolve limites que geram um produto do tipo 0cdot(-infty) e mostraremos tanto uma estimativa numérica quanto a solução analítica (L’Hôpital).

Passo 2

Cálculo de alguns valores de g(x) para ver a tendência conforme x se aproxima de zero: Para x=1: g(1)=raiz1ln1=0. Para x=0,5: raiz0,5approx0,7071, ln0,5approx-0,6931, logo g(0,5)approx-0,490. Para x=0,05: raiz0,05approx0,2236, ln0,05approx-2,9957, logo g(0,05)approx-0,670. Para x=0,01: raiz0,01=0,1, ln0,01approx-4,6052, logo g(0,01)approx-0,4605. Para x=0,005: raiz0,005approx0,07071, ln0,005approx-5,2983, logo g(0,005)approx-0,3745. Para x=0,001: raiz0,001approx0,03162, ln0,001approx-6,9078, logo g(0,001)approx-0,2186. Observamos que g(x) tende a zero por valores negativos.

Passo 3

Transformação para aplicar L’Hôpital: escrevemos g(x) como uma razão que gera tfrac-inftyinfty. Note que
g(x)=raizxln x=ln x1/raizx

Passo 4

Para xto0^+ temos ln xto-infty e 1/raizxto+infty, ou seja, um caso tfrac-infty+infty no qual podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 5

Aplicação do critério de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador
num'=ddx(ln x)=1x, den'=ddx(x^-1/2)=-tfrac12x^-3/2

Passo 6

Logo o limite vira
limxto0^+ln x1/raizx=limxto0^+1/x-tfrac12x^-3/2=limxto0^+1xcdot-2x^3/21=-2limxto0^+x^1/2=0

Passo 7

Conclusão: a análise numérica concorda com a solução analítica: g(x) tende a zero quando xto0^+.

Resposta

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