Ache as derivadas das funções:
f(x)=ln (x+raizx^2+1)-raiz1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f(x)=lnl(x+raizx^2+1r)-raiz1+x^2. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, em particular de ln(u) e de raizv, usando regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar g(x)=lnl(x+raizx^2+1r). Seja u(x)=x+raizx^2+1. Então
u'(x)=1+xraizx^2+1
Como g(x)=ln(u(x)), pela regra da derivada do logaritmo:
g'(x)=u'(x)u(x)=1+dfracxraizx^2+1x+raizx^2+1

Passo 3

Para simplificar, somamos as frações no numerador:
1+xraizx^2+1=raizx^2+1+xraizx^2+1
Logo
g'(x)=l(raizx^2+1+xr)/(raizx^2+1)x+raizx^2+1=1raizx^2+1

Passo 4

Agora derivamos h(x)=raiz1+x^2. Usando h(x)=(1+x^2)^1/2 e regra da cadeia:
h'(x)=12(1+x^2)^-1/2cdot2x=xraiz1+x^2

Passo 5

Finalmente, como f(x)=g(x)-h(x), temos
f'(x)=g'(x)-h'(x)=1raizx^2+1-xraizx^2+1=1-xraizx^2+1

Resposta

f'(x)=1-xraizx^2+1

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