Calcule as derivadas parciais de ordem superior indicadas abaixo:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline f(x, y)=2 x^{3} y+5 x^{2} y^{2}-3 x y^{2} & f(x, y, z)=y e^{x}+z e^{y}+e^{z} & f(x, y)=\ln [\cos (x-y)] \\\ f_{x y x}(x, y) & f_{x z y}(x, y, z) & f_{x x y}(x, y, z) \\\ f_{y x x}(x, y) & f_{z y x}(x, y, z) & f_{y x y}(x, y, z) \\\ \hline \end{array}

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede derivadas parciais de ordem superior específicas. Vou listar as informações fornecidas e exatamente o que é pedido:
  • Função 1: f(x,y)=2x^{3}y+5x^{2}y^{2}-3xy^{2}. Pedidos:
    • f_{xyx}(x,y)
    • f_{yxx}(x,y)
  • Função 2: f(x,y,z)=y e^{x}+z e^{y}+e^{z}. Pedidos:
    • f_{xzy}(x,y,z)
    • f_{zyx}(x,y,z)
  • Função 3: f(x,y)=\ln[\cos(x-y)]. Pedidos:
    • f_{xxy}(x,y)
    • f_{yxy}(x,y)
Observação sobre notação (importante para a resolução): quando escrevemos algo como f_{abc} significa que a derivação é feita em ordem da direita para a esquerda: primeiro em relação a c, depois a b, e por fim a a. Por exemplo, f_{xyx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)\right).

Passo 2

Resolver a Função 1: f(x,y)=2x^{3}y+5x^{2}y^{2}-3xy^{2}.
Primeiro, calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Regra usada: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, e constantes multiplicativas (como y) saem intactas.
\begin{aligned} f_x(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{3}y\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(5x^{2}y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy^{2}\big)\\[4pt] &= 2\cdot 3 x^{2}y + 5\cdot 2 x y^{2} -3 y^{2}\\[4pt] &= 6x^{2}y + 10 x y^{2} - 3 y^{2}. \end{aligned}
Expliquei: cada termo x^{n}y^{m} \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{n}y^{m})=n x^{n-1}y^{m}.]

Passo 3

Continuando Função 1: calcular f_{xyx}.
Primeiro fazemos f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x). Diferenciando termo a termo com x tratado como constante:
\begin{aligned} f_{xy}(x,y) &= \frac{\partial}{\partial y}\big(6x^{2}y\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(10xy^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}\big)\\[4pt] &= 6x^{2} + 20 x y - 6 y. \end{aligned}
Agora f_{xyx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{xy}). Derivando em x:
\begin{aligned} f_{xyx}(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\big(6x^{2}+20xy-6y\big)\\[4pt] &= 12x + 20 y + 0\\[4pt] &= 12x+20y. \end{aligned}]

Passo 4

Ainda Função 1: calcular f_{yxx} para comparar.
Começamos por f_x que já obtivemos. Agora façamos f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x). Derivando f_x=6x^{2}y+10xy^{2}-3y^{2} em relação a x:
\begin{aligned} f_{xx}(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\big(6x^{2}y\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(10xy^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(3y^{2}\big)\\[4pt] &= 12 x y + 10 y^{2} + 0. \end{aligned}
Agora f_{yxx}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_{xx}). Derivando em y:
\begin{aligned} f_{yxx}(x,y) &= \frac{\partial}{\partial y}\big(12xy+10y^{2}\big)\\[4pt] &= 12x + 20 y. \end{aligned}
Nota didática: aqui se vê que f_{xyx}=f_{yxx}=12x+20y, como previsto pela comutatividade das derivadas mistas em funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).]

Passo 5

Resolver a Função 2: f(x,y,z)=y e^{x}+z e^{y}+e^{z}.
Lembrete: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Primeiro calculemos f_y (porque f_{xzy} requer \partial/\partial y primeiro):
\begin{aligned} f_y(x,y,z) &= \frac{\partial}{\partial y}\big(ye^{x}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(ze^{y}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z}\big)\\[4pt] &= e^{x} + z e^{y} + 0\\[4pt] &= e^{x}+z e^{y}. \end{aligned}
Agora f_{yz}=\dfrac{\partial}{\partial z}(f_y):
f_{yz}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x}+ze^{y}\big)=0+e^{y}=e^{y}.
Finalmente f_{xzy}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{yz}):
f_{xzy}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{y}\big)=0,
pois e^{y} não depende de x.]

Passo 6

Ainda Função 2: calcular f_{zyx}.
Comece por f_x:
f_x(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\big(ye^{x}+ze^{y}+e^{z}\big)=y e^{x}+0+0 = y e^{x}.
Depois f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_x):
f_{yx}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{x}\big)=e^{x}.
Finalmente f_{zyx}=\dfrac{\partial}{\partial z}(f_{yx}):
f_{zyx}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x}\big)=0,
pois e^{x} não depende de z.
Comentário: ambos os terceiros mistos deram 0.

Passo 7

Resolver a Função 3: f(x,y)=\ln[\cos(x-y)].
Aqui usaremos duas regras principais:
  • Regra da cadeia: se F(u)=\ln u e u(x,y)=\cos(x-y), então \dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{1}{u}\dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Derivadas trigonométricas básicas: \dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u, \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u, \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u, e \dfrac{d}{du}\operatorname{sec}^{2}u=2\operatorname{sec}^{2}u\tan u.
Definindo u(x,y)=\cos(x-y):
u_x(x,y) = -\sin(x-y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x-y) = -\sin(x-y)\cdot 1 = -\sin(x-y).
Então
f_x(x,y)=\frac{1}{u}u_x=\frac{-\sin(x-y)}{\cos(x-y)} = -\tan(x-y).

Passo 8

Continuar Função 3: calcular f_{xx} e f_{xxy}.
Derivando f_x=-\tan(x-y) em relação a x:
f_{xx}(x,y) = -\frac{\partial}{\partial x}\big(\tan(x-y)\big) = -\operatorname{sec}^{2}(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y) = -\operatorname{sec}^{2}(x-y).
Agora f_{xxy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_{xx}). Aplicando a regra da cadeia à função -\operatorname{sec}^{2}(x-y):
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}^{2}(x-y)\big) &= 2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y)\\[4pt] &= 2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y)\cdot(-1)\\[4pt] &= -2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y). \end{aligned}
Como f_{xx}=-\operatorname{sec}^{2}(x-y), temos
f_{xxy}(x,y) = -\big(\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sec}^{2}(x-y)\big) = -\big(-2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y).]

Passo 9

Ainda Função 3: calcular f_{yxy}.
Comece por f_y. Usando cadeia com u=\cos(x-y):
u_y = -\sin(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x-y) = -\sin(x-y)\cdot(-1)=\sin(x-y).
Logo
f_y(x,y)=\frac{1}{u}u_y=\frac{\sin(x-y)}{\cos(x-y)}=\tan(x-y).
Agora f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y):
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\tan(x-y)\big)=\operatorname{sec}^{2}(x-y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=\operatorname{sec}^{2}(x-y).
Finalmente f_{yxy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_{xy})=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}^{2}(x-y)\big). Já calculámos essa derivada no passo anterior:
f_{yxy}(x,y)= -2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y).

Resposta

\,f_{xyx}(x,y)=12x+20y
\,f_{yxx}(x,y)=12x+20y
\,f_{xzy}(x,y,z)=0
\,f_{zyx}(x,y,z)=0
\,f_{xxy}(x,y)=2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y)
\,f_{yxy}(x,y)=-2\operatorname{sec}^{2}(x-y)\tan(x-y)

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