Calcule as derivadas parciais de ordem superior indicadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá três funções e pede derivadas parciais de ordem superior específicas. Vou listar as informações fornecidas e exatamente o que é pedido:
-
Função 1:
. Pedidos: -
-
Função 2:
. Pedidos: -
-
Função 3:
. Pedidos: -
Observação sobre notação (importante para a resolução): quando escrevemos algo como
significa que a derivação é feita em ordem da direita para a esquerda: primeiro em relação a
, depois a
, e por fim a
. Por exemplo,
.
Passo 2
Resolver a Função 1:
.
Primeiro, calculemos
. Regra usada: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; a derivada de
é
, e constantes multiplicativas (como
) saem intactas.
Expliquei: cada termo
dá
.]
Passo 3
Continuando Função 1: calcular
.
Primeiro fazemos
. Diferenciando termo a termo com
tratado como constante:
Agora
. Derivando em
:
Passo 4
Ainda Função 1: calcular
para comparar.
Começamos por
que já obtivemos. Agora façamos
. Derivando
em relação a
:
Agora
. Derivando em
:
Nota didática: aqui se vê que
, como previsto pela comutatividade das derivadas mistas em funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).]
Passo 5
Resolver a Função 2:
.
Lembrete:
. Ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Primeiro calculemos
(porque
requer
primeiro):
Agora
:
Finalmente
:
pois
não depende de
.]
Passo 6
Ainda Função 2: calcular
.
Comece por
:
Depois
:
Finalmente
:
pois
não depende de
.
Comentário: ambos os terceiros mistos deram
.
Passo 7
Resolver a Função 3:
.
Aqui usaremos duas regras principais:
- Regra da cadeia: se
e , então . - Derivadas trigonométricas básicas:
, , , e .
Definindo
:
Então
Passo 8
Continuar Função 3: calcular
e
.
Derivando
em relação a
:
Agora
. Aplicando a regra da cadeia à função
:
Como
, temos
Passo 9
Ainda Função 3: calcular
.
Comece por
. Usando cadeia com
:
Logo
Agora
:
Finalmente
. Já calculámos essa derivada no passo anterior: