Ache as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $, ou seja, $ D_{2} f(x, y) $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função de duas variáveis em relação a uma delas, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ y $ ($ D_{2} f(x, y) $) mostra como a função muda quando apenas $ y $ varia, mantendo $ x $ constante.
Passo 3
Agora, vamos escrever a função que vamos derivar:
Nosso objetivo é encontrar $ D_{2} f(x, y) $, ou seja, a derivada de $ f $ em relação a $ y $.
Passo 4
Para encontrar $ D_{2} f(x, y) $, vamos derivar cada termo da função $ f(x, y) $ em relação a $ y $, tratando $ x $ como uma constante. Vamos fazer isso termo a termo.
Passo 5
Vamos começar com o primeiro termo: $ 2x^{2}y $.
Como estamos derivando em relação a $ y $, $ 2x^{2} $ é uma constante. A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1. Então:
Passo 6
O próximo termo é $ -3xy^{2} $.
Aqui, $ -3x $ é uma constante em relação a $ y $. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $. Assim:
Passo 7
Agora, o terceiro termo: $ 4x $.
Como este termo não depende de $ y $, sua derivada em relação a $ y $ é zero.
Passo 8
Por fim, temos o termo $ -2y $.
A derivada de $ -2y $ em relação a $ y $ é simplesmente $ -2 $.
Passo 9
Agora, vamos somar todas as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $ é: