Ache as derivadas parciais indicadas:
D2 f(x, y) ;
f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^2+4 x-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $, ou seja, $ D_{2} f(x, y) $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função de duas variáveis em relação a uma delas, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ y $ ($ D_{2} f(x, y) $) mostra como a função muda quando apenas $ y $ varia, mantendo $ x $ constante.

Passo 3

Agora, vamos escrever a função que vamos derivar:
f(x, y) = 2x^2y - 3xy^2 + 4x - 2y
Nosso objetivo é encontrar $ D_{2} f(x, y) $, ou seja, a derivada de $ f $ em relação a $ y $.

Passo 4

Para encontrar $ D_{2} f(x, y) $, vamos derivar cada termo da função $ f(x, y) $ em relação a $ y $, tratando $ x $ como uma constante. Vamos fazer isso termo a termo.

Passo 5

Vamos começar com o primeiro termo: $ 2x^{2}y $.
Como estamos derivando em relação a $ y $, $ 2x^{2} $ é uma constante. A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1. Então:
2x^2y

Passo 6

O próximo termo é $ -3xy^{2} $.
Aqui, $ -3x $ é uma constante em relação a $ y $. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $. Assim:
-3xy^2

Passo 7

Agora, o terceiro termo: $ 4x $.
Como este termo não depende de $ y $, sua derivada em relação a $ y $ é zero.
4x

Passo 8

Por fim, temos o termo $ -2y $.
A derivada de $ -2y $ em relação a $ y $ é simplesmente $ -2 $.
-2y

Passo 9

Agora, vamos somar todas as derivadas que calculamos:
D2 f(x, y) = 2x^2 - 6xy + 0 - 2
Simplificando:
D2 f(x, y) = 2x^2 - 6xy - 2

Resposta

A derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $ é:
f(x, y)

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