Ache as derivadas parciais indicadas:
D1 f(x, y) ;
f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^2+4 x-2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $, que é representada por $ D_{1} f(x, y) $. A função que vamos trabalhar é $ f(x, y) = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 4x - 2y $. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são as derivadas de funções com mais de uma variável, considerando uma variável de cada vez enquanto mantém a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $ significa que vamos derivar a função considerando $ y $ como uma constante.
Então, vamos derivar cada termo de $ f(x, y) $ em relação a $ x $:
  1. Termo $ 2x^{2}y $:
    • Aqui, $ y $ é uma constante.
    • A derivada de $ 2x^{2}y $ em relação a $ x $ é $ 2y \times 2x = 4xy $.
  2. Termo $ -3xy^{2} $:
    • Novamente, $ y^{2} $ é uma constante.
    • A derivada de $ -3xy^{2} $ em relação a $ x $ é $ -3y^{2} $.
  3. Termo $ 4x $:
    • A derivada de $ 4x $ em relação a $ x $ é $ 4 $.
  4. Termo $ -2y $:
    • Como $ y $ é considerado constante e não depende de $ x $, a derivada de $ -2y $ em relação a $ x $ é $ 0 $.

Passo 3

Agora, vamos juntar todas essas derivadas:
D1 f(x, y) = 4xy - 3y^2 + 4 + 0
Simplificando:
D1 f(x, y) = 4xy - 3y^2 + 4

Resposta

A derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ é:
f(x, y)

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