Ache as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $, que é representada por $ D_{1} f(x, y) $. A função que vamos trabalhar é $ f(x, y) = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 4x - 2y $. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são as derivadas de funções com mais de uma variável, considerando uma variável de cada vez enquanto mantém a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a $ x $ significa que vamos derivar a função considerando $ y $ como uma constante.
Então, vamos derivar cada termo de $ f(x, y) $ em relação a $ x $:
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Termo $ 2x^{2}y $:
- Aqui, $ y $ é uma constante.
- A derivada de $ 2x^{2}y $ em relação a $ x $ é $ 2y \times 2x = 4xy $.
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Termo $ -3xy^{2} $:
- Novamente, $ y^{2} $ é uma constante.
- A derivada de $ -3xy^{2} $ em relação a $ x $ é $ -3y^{2} $.
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Termo $ 4x $:
- A derivada de $ 4x $ em relação a $ x $ é $ 4 $.
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Termo $ -2y $:
- Como $ y $ é considerado constante e não depende de $ x $, a derivada de $ -2y $ em relação a $ x $ é $ 0 $.
Passo 3
Agora, vamos juntar todas essas derivadas:
Simplificando:
Resposta
A derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ é: