Resolva o PVI constituído do sistema de equações diferenciais
X^prime=[ccc 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 ] X
sujeito a condição
X(0)=[l 6 5 4 ]]
onde
X(t)=[l x1(t) x2(t) x3(t) ]
Atenção: faça escolha às entradas dos autovetores que correspondam a vetores entradas somente de números inteiros e com o máximo de números positivos possive
Resolver o PVI corretamente.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI linear X' = A,X com
A = 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1,
e condição inicial X(0) = (6,5,4)^T. O conteúdo é diagonalização de matriz e solução de sistemas lineares via autovalores e autovetores.

Passo 2

Começamos encontrando o polinômio característico de A. Fazendo
det(A - lambda I) = 3-lambda & -1 & -1 1 & 1-lambda & -1 1 & -1 & 1-lambda = -lambda^3 +5lambda^2 -8lambda +4 = 0,
o que equivale a
lambda^3 -5lambda^2 +8lambda -4 = 0,
cuja fatoração é e (lambda-1)(lambda-2)^2=0 Assim, os autovalores são (lambda1=1.

Passo 3

Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0 e obtemos o autovetor
v^(1) = 111
Para lambda=2, a equação (A-2I)v=0 leva a v1 = v2 + v3. Tomando os parâmetros livres s=v2 e t=v3, escolhemos os autovetores inteiros
v^(2)=110, v^(3)=101

Passo 4

Agora escrevemos a condição inicial em coordenadas da base v^(1),v^(2),v^(3). Queremos c1 v^(1) + c2 v^(2) + c3 v^(3) = (6,5,4)^T. Isso dá o sistema
c1 + c2 + c3 = 6, c1 + c2 = 5, c1 + c3 = 4,
cuja solução é c1=3, c2=2, c3=1.

Passo 5

A solução geral do sistema é
X(t) = c1 e^lambda1 tv^(1) + c2 e^lambda2 tv^(2) + c3 e^lambda3 tv^(3)
Substituindo os valores achados, obtemos
X(t) = 3e^t 111 + 2e^2t 110 + 1e^2t 101

Resposta

Em componentes,
x1(t) = 3e^t + 3e^2t, x2(t) = 3e^t + 2e^2t, x3(t) = 3e^t + e^2t

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