Estude com relação a máximos e mínimos a função
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa analisar os máximos e mínimos da função
Isso é parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar as derivadas parciais e o teste da segunda derivada para encontrar e classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
e
.
Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equa��ão:
Substituindo
de volta na expressão para
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como
e
, isso indica que temos um mínimo local no ponto crítico encontrado.
Resposta
A função
apresenta um mínimo local no ponto
.