Estude com relação a máximos e mínimos a função
f(x, y)=x^2+3 x y+4 y^2-6 x+2 y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa analisar os máximos e mínimos da função
f(x, y) = x^2 + 3xy + 4y^2 - 6x + 2y
Isso é parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente envolvendo funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar as derivadas parciais e o teste da segunda derivada para encontrar e classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 2x + 3y - 6 em relação a fy = partial fpartial y = 3x + 8y + 2 e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo 2x + 3y - 6 = 0 3x + 8y + 2 = 0 e .
Então, temos o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação:
2x + 3y = 6 Rightarrow 2x = 6 - 3y Rightarrow x = 3 - 32y
Agora, substituímos 3(3 - 32y) + 8y + 2 = 0 9 - 92y + 8y + 2 = 0 11 + 72y = 0 72y = -11 y = -227 na segunda equa��ão:
x = 3 - 32 ( -227 ) = 3 + 337 = 547
Substituindo de volta na expressão para :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 8 fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = 3
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (2)(8) - (3)^2 = 16 - 9 = 7
Como e , isso indica que temos um mínimo local no ponto crítico encontrado.

Resposta

A função apresenta um mínimo local no ponto .

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