Ache as derivadas parciais indicadas:
D11 f(x, y) ;
(b) f(x, y)=(4 x^2-2 y)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de segunda ordem de f em relação a x, ou seja D_{11}f(x,y)=f_{xx}. O conteúdo aqui é derivadas parciais e vamos usar principalmente a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro vamos achar f_x aplicando regra da cadeia. Temos f(x,y)= (4x^2-2y)^3. Logo,
fx = 3(4x^2-2y)^2 cdot ddx(4x^2-2y) = 3(4x^2-2y)^2 cdot 8x = 24x,(4x^2-2y)^2

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em relação a x de f_x = 24x,(4x^2-2y)^2. Usamos regra do produto e regra da cadeia:
fxx = ddxl(24xr),(4x^2-2y)^2 + 24xcdot 2(4x^2-2y)cdot ddx(4x^2-2y)

Passo 4

Calculando cada parte:
ddx(24x)=24, ddx(4x^2-2y)=8x

Passo 5

Logo,
fxx = 24,(4x^2-2y)^2 + 24xcdot 2(4x^2-2y)cdot 8x = 24(4x^2-2y)^2 + 384x^2(4x^2-2y)

Passo 6

Podemos ainda fatorar (4x^2-2y):
fxx = 24(4x^2-2y)l((4x^2-2y)+16x^2r) = 24(4x^2-2y)(20x^2-2y)

Resposta

D11f(x,y)=24(4x^2-2y)(20x^2-2y)

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