- Utilize a identidade
para obter a série de Maclaurin para
. Então derive essa série para obter a série de Maclaurin para
. Verifique que se trata de uma série para sen
.
- (Continuação do Exercício 43.) Utilize a identidade
para obter uma série de potências para
.
- Teorema de Taylor e o teorema do valor médio Explique como o teorema do valor médio (Seção 4.2, Teorema 4) é um caso especial do teorema de Taylor.
- Linearizações nos pontos de inflexão Mostre que, se o gráfico de uma função
duas vezes derivável possui um ponto de inflexão
, então a linearização de
em
é também a aproximação quadrática de
em
. Isso explica por que as retas tangentes se ajustam tão bem aos pontos de inflexão.
- (Segundo) teste da derivada segunda Utilize a equação
para estabelecer o teste a seguir. Seja
com primeira e segunda derivadas contínuas e suponha que
. Então:
a.
tem um máximo local em
se
em um intervalo cujo interior contenha
;
b.
tem um mínimo local em
se
em um intervalo cujo interior contenha
.
a.
b.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas: (i) usar identidades trigonométricas e séries de Maclaurin para obter séries para
, para
e para
; (ii) mostrar que a série de
coincide com a de
; (iii) explicar como o Teorema do Valor Médio é um caso especial do Teorema de Taylor de ordem 1; (iv) mostrar que, num ponto de inflexão
, a linearização coincide com a aproximação quadrática; (v) estabelecer o segundo teste da derivada segunda usando Taylor com resto de Lagrange. Vamos precisar das séries de Maclaurin de
e do Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange.
Passo 2
Para obter a série de Maclaurin de
usamos a identidade
e a série de Maclaurin de
:
Logo
Passo 3
Derivamos termo a termo para achar a série de
:
Compare com a série de
:
São idênticas, então
.
Passo 4
Para
usamos
substituindo as séries anteriores:
Passo 5
O Teorema do Valor Médio afirma que, para
contínua em
e derivável em
, existe
tal que
Já o Teorema de Taylor de ordem 1 com resto de Lagrange diz
para algum
. Se ignoramos o termo de segunda ordem (isto é, fazemos a expansão até a primeira ordem), temos exatamente
e se aplicarmos esse resultado entre
e
trocando
por um ponto intermediário
, obtemos a forma do Valor Médio. Assim, MVT é o caso
de Taylor sem considerar o resto.
Passo 6
Num ponto de inflexão
de
, temos
. A linearização é
A aproximação quadrática (Taylor de 2ª ordem) é
pois
. Logo, a reta tangente coincide com o polinômio de grau 2 no ponto de inflexão.
Passo 7
Começando da forma de Taylor com resto em
:
e supondo
, obtemos
Se
para
perto de
, então
em volta de
e há máximo. Se
, há mínimo.
Passo 8
Resposta
• Série de Maclaurin de
:
• Série de Maclaurin de
:
que coincide com a série de
.
• Série de Maclaurin de :
• Série de Maclaurin de
• O Teorema do Valor Médio é o caso especial de Taylor de ordem 1 ao desprezarmos o termo de segunda ordem no resto de Lagrange.
• Em ponto de inflexão ,
faz com que a linearização coincida com a aproximação quadrática de Taylor de ordem 2.
• Usando Taylor com resto de Lagrange e chega-se ao segundo teste da derivada segunda: se
localmente, há máximo em
; se
, há mínimo.
• Em ponto de inflexão
• Usando Taylor com resto de Lagrange e