1. Utilize a identidade sen^2 x=(1-cos 2 x) / 2 para obter a série de Maclaurin para sen^2 x. Então derive essa série para obter a série de Maclaurin para 2 sen x cos x. Verifique que se trata de uma série para sen 2 x.
  2. (Continuação do Exercício 43.) Utilize a identidade cos ^2 x=cos 2 x+sen^2 x para obter uma série de potências para cos ^2 x.
  3. Teorema de Taylor e o teorema do valor médio Explique como o teorema do valor médio (Seção 4.2, Teorema 4) é um caso especial do teorema de Taylor.
  4. Linearizações nos pontos de inflexão Mostre que, se o gráfico de uma função f(x) duas vezes derivável possui um ponto de inflexão x=a, então a linearização de f em x=a é também a aproximação quadrática de f em x=a. Isso explica por que as retas tangentes se ajustam tão bem aos pontos de inflexão.
  5. (Segundo) teste da derivada segunda Utilize a equação
f(x)=f(a)+f^prime(a)(x-a)+f^prime prime(c2)2(x-a)^2
para estabelecer o teste a seguir. Seja f com primeira e segunda derivadas contínuas e suponha que f^prime(a)=0. Então:
a. f tem um máximo local em a se f^prime prime <= 0 em um intervalo cujo interior contenha a;
b. f tem um mínimo local em a se f^prime >= 0 em um intervalo cujo interior contenha a.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas: (i) usar identidades trigonométricas e séries de Maclaurin para obter séries para sin^2 x, para 2sin xcos x e para cos^2 x; (ii) mostrar que a série de 2sin xcos x coincide com a de sin2x; (iii) explicar como o Teorema do Valor Médio é um caso especial do Teorema de Taylor de ordem 1; (iv) mostrar que, num ponto de inflexão a, a linearização coincide com a aproximação quadrática; (v) estabelecer o segundo teste da derivada segunda usando Taylor com resto de Lagrange. Vamos precisar das séries de Maclaurin de cos x e do Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange.

Passo 2

Para obter a série de Maclaurin de sin^2 x usamos a identidade
sin^2 x = 1 - cos2x2
e a série de Maclaurin de cos2x:
cos2x = 1 - (2x)^22! + (2x)^44! - (2x)^66! + cdots = 1 - 2x^2 + 2x^43 - 4x^645 + cdots
Logo
sin^2 x = 2x^2 - 2x^43 + 4x^645 - cdots2 = x^2 - x^43 + 2x^645 - cdots

Passo 3

Derivamos termo a termo para achar a série de 2sin xcos x = (sin^2 x)':
2sin xcos x = ddxl(x^2 - tfracx^43 + tfrac2x^645 - cdotsr) = 2x - 4x^33 + 4x^515 - cdots
Compare com a série de sin2x:
sin2x = 2x - (2x)^33! + (2x)^55! - cdots = 2x - 4x^33 + 4x^515 - cdots
São idênticas, então 2sin xcos x = sin2x.

Passo 4

Para cos^2 x usamos
cos^2 x = cos2x + sin^2 x,
substituindo as séries anteriores:
cos^2 x = l(1 - 2x^2 + tfrac2x^43 - tfrac4x^645 + cdotsr) + l(x^2 - tfracx^43 + tfrac2x^645 - cdotsr)
= 1 - x^2 + x^43 - 2x^645 + cdots

Passo 5

O Teorema do Valor Médio afirma que, para f contínua em [a,b] e derivável em (a,b), existe cin(a,b) tal que
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)
Já o Teorema de Taylor de ordem 1 com resto de Lagrange diz
f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + f''(xi)2(b-a)^2
para algum xiin(a,b). Se ignoramos o termo de segunda ordem (isto é, fazemos a expansão até a primeira ordem), temos exatamente
f(b) approx f(a) + f'(a)(b-a),
e se aplicarmos esse resultado entre a e b trocando a por um ponto intermediário c, obtemos a forma do Valor Médio. Assim, MVT é o caso n=1 de Taylor sem considerar o resto.

Passo 6

Num ponto de inflexão x=a de f, temos f''(a)=0. A linearização é
L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)
A aproximação quadrática (Taylor de 2ª ordem) é
T2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)2(x-a)^2 = f(a) + f'(a)(x-a),
pois f''(a)=0. Logo, a reta tangente coincide com o polinômio de grau 2 no ponto de inflexão.

Passo 7

Começando da forma de Taylor com resto em c2:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(c2)2(x-a)^2,
e supondo f'(a)=0, obtemos
f(x)-f(a) = f''(c2)2(x-a)^2
Se f''(u)<0 para u perto de a, então f(x) em volta de a e há máximo. Se f''(u)>0, há mínimo.

Passo 8

Resposta

• Série de Maclaurin de sin^2 x:
sin^2 x = x^2 - x^43 + 2x^645 - cdots
• Série de Maclaurin de 2sin xcos x:
2sin xcos x = 2x - 4x^33 + 4x^515 - cdots,
que coincide com a série de sin2x.
• Série de Maclaurin de cos^2 x:
cos^2 x = 1 - x^2 + x^43 - 2x^645 + cdots
• O Teorema do Valor Médio é o caso especial de Taylor de ordem 1 ao desprezarmos o termo de segunda ordem no resto de Lagrange.
• Em ponto de inflexão a, f''(a)=0 faz com que a linearização coincida com a aproximação quadrática de Taylor de ordem 2.
• Usando Taylor com resto de Lagrange e f'(a)=0 chega-se ao segundo teste da derivada segunda: se f''<0 localmente, há máximo em a; se f''>0, há mínimo.

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