Passo 1
Neste exercício temos quatro limites que apresentam indeterminações do tipo 0/0, então vamos usar a regra de l’Hôpital ou expansões de Taylor (pequenas aproximações) para resolvê-los de forma rápida e intuitiva.
Passo 2
Para o limite
, note que quando
temos as expansões:
Logo
e o quociente fica
Portanto o limite vale 2.
Passo 3
Para o limite
, substituindo direto dá 0/0. Aplicamos a regra de l’Hôpital derivando numerador e denominador:
Então o limite é
Passo 4
Para
, de novo temos 0/0. Usamos as aproximações:
Logo
e o quociente fica
Passo 5
No limite
, temos mais um 0/0. As expansões são:
Então o denominador é
e o quociente tende a
Resposta
Os valores dos limites são: 37) 2, 38) 4, 39) \tfrac32 e 40) 1.