1. lim x 0 ln (1+x^2)1-cos x
  2. lim x 2 x^2-4ln (x-1)
  3. lim x 0 sen 3 x^21-cos 2 x
  4. lim x 0 ln (1+x^3)x cdot sen x^2

Passo 1

Neste exercício temos quatro limites que apresentam indeterminações do tipo 0/0, então vamos usar a regra de l’Hôpital ou expansões de Taylor (pequenas aproximações) para resolvê-los de forma rápida e intuitiva.

Passo 2

Para o limite limxto0ln(1+x^2)1-cos x, note que quando xto0 temos as expansões:
ln(1+x^2)=x^2+o(x^2)
cos x=1-x^22+o(x^2)
Logo
1-cos x=x^22+o(x^2)
e o quociente fica
ln(1+x^2)1-cos xsimx^2x^2/2=2
Portanto o limite vale 2.

Passo 3

Para o limite limxto2x^2-4ln(x-1), substituindo direto dá 0/0. Aplicamos a regra de l’Hôpital derivando numerador e denominador:
ddx(x^2-4)=2x, ddxln(x-1)=1x-1
Então o limite é
limxto22x1/(x-1)=limxto22x(x-1)=2cdot2cdot1=4

Passo 4

Para limxto0sin(3x^2)1-cos(2x), de novo temos 0/0. Usamos as aproximações:
sin(3x^2)=3x^2+o(x^2),
cos(2x)=1-(2x)^22+o(x^2)=1-2x^2+o(x^2)
Logo
1-cos(2x)=2x^2+o(x^2)
e o quociente fica
3x^22x^2=32

Passo 5

No limite limxto0ln(1+x^3)x;sin(x^2), temos mais um 0/0. As expansões são:
ln(1+x^3)=x^3+o(x^3),
sin(x^2)=x^2+o(x^2)
Então o denominador é
xcdotsin(x^2)=xcdot x^2=x^3+o(x^3)
e o quociente tende a
x^3x^3=1

Resposta

Os valores dos limites são: 37) 2, 38) 4, 39) \tfrac32 e 40) 1.

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