Ache as derivadas parciais indicadas: D12 f(x, y) ; f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^2+4 x-2 y Passo 1Passo MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosAche as derivadas parciais indicadas: D11 f(x, y) ; f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^2+4 x-2 y Expanda f(x)=raiz1+x em série de Taylor, isto é, f(x)=sumn=0^infty cn(x-x0)^n Escolha um valor conveniente para x0. Note-se que D(f)=x in R / x >=-1. Assim, x0=0 é um valor conveniente. & f(x)=raiz1+x=(1+x)^1 / 2 & f^prime(x)=(1 / 2)(1+x)^-1 / 2 & f^prime prime(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(1+x)^-3 / 2 & f^prime prime prime(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(1+x)^-5 / 2 & f^i v(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)(1+x)^-7 / 2 & f^v(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)(-7 / 2)(1+x)^-9 / 2 Assim, f(0)=1 f^prime(0)=(1 / 2) f^prime prime(0)=(1 / 2)(-1 / 2) f^prime prime prime(0)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2) f^i v(0)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2) f^v(0)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)(-7 / 2) De outra forma, f(0)=1 f^prime(0) & =(1 / 2) f^prime prime(0) & =(-1)(1) / 2^2 f^prime prime prime(0) & =(1)(1)(3) / 2^3 f^i v(0) & =(-1)(1)(3)(5) / 2^4 f^v(0) & =(1)(1)(3)(5)(7) / 2^5 Note-se que, f(0)=1 f^prime(0)=(1 / 2) f^prime prime(0)=(-1)^0+1(2.0+1) / 2^0+2 f^prime prime prime(0)=(-1)^1+1(1)(2.1+1) / 2^1+2 f^i v(0)=(-1)^2+1(1)(3)(2.2+1) / 2^2+2 f^v(0)=(-1)^3+1(1)(3)(5)(2.3+1) / 2^3+2 Então, f(0)=1 f^prime(0)=(1 / 2) f^(n+2)(0)=(-1)^n+1(1)(3)(5) ldots(2 n+1) / 2^n+2, n=0,1,2, ldots Finalmente, c0=f(0)=1 c1=f^prime(0)=(1 / 2) cn+2=f^(n+2)(0)(n+2)! therefore cn+2=(-1)^n+1(1)(3)(5) ldots(2 n+1)2^n+2(n+2)!, n=0,1,2, ldots raiz1+x=1+x2+sumn=0^infty cn+2 x^n+2 em que a expressão de cn+2 foi obtida acima. Ache as derivadas parciais indicadas: D22 f(x, y) ; f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^2+4 x-2 y