Expanda
em série de Taylor, isto é,
Escolha um valor conveniente para
.
Note-se que
.
Assim,
é um valor conveniente.
Assim,
De outra forma,
Note-se que,
Então,
,
Finalmente,
em que a expressão de
foi obtida acima.
Note-se que
Assim,
De outra forma,
Finalmente,
Passo 1
O enunciado pede pra expandir a função
em série de Taylor em torno de um ponto
conveniente, observarmos que o domínio exige
e que tomando
a vida fica mais fácil.
Passo 2
Lembrando a fórmula geral da série de Taylor em torno de
:
precisamos calcular
.
Passo 3
Começamos diferenciando algumas vezes e percebendo o padrão:
e, em geral,
Passo 4
Avaliando em
temos
e
. Logo o coeficiente da série é
Passo 5
Recordando que a definição generalizada do coeficiente binomial é
escrevemos a série final.
Passo 6
Portanto,