Expanda f(x)=raiz1+x em série de Taylor, isto é,
f(x)=sumn=0^infty cn(x-x0)^n
Escolha um valor conveniente para x0.
Note-se que D(f)=x in R / x >=-1.
Assim, x0=0 é um valor conveniente.
& f(x)=raiz1+x=(1+x)^1 / 2 & f^prime(x)=(1 / 2)(1+x)^-1 / 2 & f^prime prime(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(1+x)^-3 / 2 & f^prime prime prime(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(1+x)^-5 / 2 & f^i v(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)(1+x)^-7 / 2 & f^v(x)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)(-7 / 2)(1+x)^-9 / 2
Assim,
f(0)=1
f^prime(0)=(1 / 2)
f^prime prime(0)=(1 / 2)(-1 / 2)
f^prime prime prime(0)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)
f^i v(0)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)
f^v(0)=(1 / 2)(-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2)(-7 / 2)
De outra forma,
f(0)=1
f^prime(0) & =(1 / 2) f^prime prime(0) & =(-1)(1) / 2^2 f^prime prime prime(0) & =(1)(1)(3) / 2^3 f^i v(0) & =(-1)(1)(3)(5) / 2^4 f^v(0) & =(1)(1)(3)(5)(7) / 2^5
Note-se que,
f(0)=1
f^prime(0)=(1 / 2)
f^prime prime(0)=(-1)^0+1(2.0+1) / 2^0+2
f^prime prime prime(0)=(-1)^1+1(1)(2.1+1) / 2^1+2
f^i v(0)=(-1)^2+1(1)(3)(2.2+1) / 2^2+2
f^v(0)=(-1)^3+1(1)(3)(5)(2.3+1) / 2^3+2

Então,

f(0)=1
f^prime(0)=(1 / 2)
f^(n+2)(0)=(-1)^n+1(1)(3)(5) ldots(2 n+1) / 2^n+2,
n=0,1,2, ldots
Finalmente,
c0=f(0)=1
c1=f^prime(0)=(1 / 2)
cn+2=f^(n+2)(0)(n+2)! therefore cn+2=(-1)^n+1(1)(3)(5) ldots(2 n+1)2^n+2(n+2)!, n=0,1,2, ldots
raiz1+x=1+x2+sumn=0^infty cn+2 x^n+2
em que a expressão de cn+2 foi obtida acima.

Passo 1

O enunciado pede pra expandir a função f(x)=raiz1+x em série de Taylor em torno de um ponto x0 conveniente, observarmos que o domínio exige x>=-1 e que tomando x0=0 a vida fica mais fácil.

Passo 2

Lembrando a fórmula geral da série de Taylor em torno de 0:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n,
precisamos calcular f^(n)(0).

Passo 3

Começamos diferenciando algumas vezes e percebendo o padrão:
f(x)=(1+x)^1/2,
f'(x)=tfrac12(1+x)^-1/2,
f''(x)=tfrac12(-tfrac12)(1+x)^-3/2,
f^(3)(x)=tfrac12(-tfrac12)(-tfrac32)(1+x)^-5/2,
e, em geral,
f^(n)(x)=prodk=0^n-1l(tfrac12-kr),(1+x)^tfrac12-n

Passo 4

Avaliando em x=0 temos
f^(n)(0)=prodk=0^n-1l(tfrac12-kr), n>=1,
e f(0)=1. Logo o coeficiente da série é
cn=f^(n)(0)n!=tfrac12(tfrac12-1)cdots(tfrac12-(n-1))n!=binom1/2n

Passo 5

Recordando que a definição generalizada do coeficiente binomial é
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!,
escrevemos a série final.

Passo 6

Portanto,
raiz1+x=sumn=0^inftybinom1/2nx^n=1+x2-x^28+x^316-5x^4128+cdots

Resposta

raiz1+x=sumn=0^inftybinom1/2nx^n

Exercícios relacionados