Ache as derivadas parciais indicadas:
D12 f(x, y) ;
© f(x, y)=x^2-y3 y^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: o exercício pede a derivada parcial mista D_{12}f(x,y), isto é partial^2fpartial ypartial x, para a função f(x,y)=x^2-y3y^2. Vamos usar definição de derivadas parciais e regras de diferenciação.

Passo 2

Para simplificar o trabalho, é útil reescrever f como soma de potências de y:
f(x,y)=x^23y^2-13y
Assim podemos usar diretamente a regra de potência.

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de f em relação a x. Como y é tratado como constante, temos:
fx=partialpartial xl(x^23y^2r)=2x3y^2
O termo -1/(3y) não depende de x, logo sua derivada é zero.

Passo 4

Agora derivamos fx em relação a y para obter D_{12}f (ou fyx):
D12f=partialpartial yl(2x3y^2r)=2xcdot(-2)13y^3=-4x3y^3

Resposta

-4x3y^3

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