Ache as derivadas parciais indicadas:
D2 f(x, y) ;
(b) f(x, y)=(4 x^2-2 y)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de ordem 1 em relação a y (ou D₂f) de f(x,y) = (4x²−2y)³. O conteúdo é derivada parcial usando a regra da cadeia, e vamos precisar identificar a função interna e sua derivada em relação a y.

Passo 2

Definimos a função interna u(x,y) = 4x² − 2y, de modo que f(x,y) = [u(x,y)]³.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de u em relação a y: partial upartial y = partialpartial y(4x² − 2y) = -2².

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para derivada de uma potência: partial fpartial y = 3,[u(x,y)]^2 cdot partial upartial y. Substituindo u e sua derivada, obtemos
partial fpartial y = 3,(4x^2-2y)^2 cdot (-2) = -6,(4x^2-2y)^2

Resposta

D₂f(x,y) = -6,(4x² − 2y)²

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