Ache as derivadas parciais indicadas:
D12 f(x, y) ;
(b) f(x, y)=(4 x^2-2 y)^3

Passo 1

A função é f(x,y) = (4x^2 - 2y)^3. O conteúdo é derivadas parciais com regra da cadeia; vamos precisar calcular primeiro partial f/partial x e depois derivar esse resultado em relação a y.

Passo 2

Para achar partial f/partial x aplicamos a regra da cadeia: seja u = 4x^2 - 2y, então f = u^3 e du/dx = 8x. Assim,
partial fpartial x = 3u^2 cdot dudx = 3(4x^2 - 2y)^2 cdot 8x = 24x(4x^2 - 2y)^2

Passo 3

Agora derivamos partial f/partial x = 24x(4x^2 - 2y)^2 em relação a y. Aqui 24x é constante e
ddy(4x^2 - 2y)^2 = 2(4x^2 - 2y) cdot (-2) = -4(4x^2 - 2y)

Passo 4

Logo,
partial^2 fpartial ypartial x = 24x cdot [-4(4x^2 - 2y)] = -96x(4x^2 - 2y)

Resposta

D_{12}f(x,y) = -96x(4x^2 - 2y)

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