Séries binomiais
Encontre os quatro primeiros termos da série binomial para as funções nos Exercícios 1-10.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos da expansão em série binomial para dez funções diferentes, ou seja, usar a expansão de
até o termo em
(ou até
quando a função envolver
).
Passo 2
Para isso, vamos usar a fórmula geral da série binomial (válida para qualquer expoente
, inteiro ou não):
O termo geral é dado por
Então os quatro primeiros termos são:
Passo 3
Aplicando essa fórmula em
para as funções 1, 2 e 3:
-
$ (1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x + \tfrac{(1/2)(-1/2)}{2}x^2 + \tfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}x^3 = 1 + \tfrac12x - \tfrac18x^2 + \tfrac1{16}x^3$.
-
$ (1+x)^{1/3} = 1 + \tfrac13 x + \tfrac{(1/3)(-2/3)}{2}x^2 + \tfrac{(1/3)(-2/3)(-5/3)}{6}x^3 = 1 + \tfrac13x - \tfrac19x^2 + \tfrac5{81}x^3$.
-
$ (1+\tfrac x2)^{-2} = 1 + (-2)\tfrac x2 + \tfrac{(-2)(-3)}{2}(\tfrac x2)^2 + \tfrac{(-2)(-3)(-4)}{6}(\tfrac x2)^3 = 1 - x + \tfrac{3}{4}x^2 - \tfrac12x^3$.
Passo 4
Agora para as funções 4, 5 e 6:
-
$ (1 - x)^{-1/2} = 1 + \tfrac12x + \tfrac{(1/2)(3/2)}{2}x^2 + \tfrac{(1/2)(3/2)(5/2)}{6}x^3 = 1 + \tfrac12x + \tfrac38x^2 + \tfrac5{16}x^3$.
-
$ (1 - 2x)^{1/2} = 1 + \tfrac12(-2x) + \tfrac{(1/2)(-1/2)}{2}(-2x)^2 + \tfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}(-2x)^3 = 1 - x - \tfrac12x^2 - \tfrac12x^3$.
-
$ (1 - \tfrac x3)^{4} = 1 + 4(-\tfrac x3) + \tfrac{4\cdot3}{2}(\tfrac x3)^2 + \tfrac{4\cdot3\cdot2}{6}( -\tfrac x3)^3 = 1 - \tfrac43x + \tfrac23x^2 - \tfrac4{27}x^3$.
Passo 5
Agora para os exercícios 7, 8 e 9 (observe que em 7 e 9 a variável é
):
-
$ (1 + x2){-1/3} = 1 + (-\tfrac13)x^2 + \tfrac{(-1/3)(-4/3)}{2}x^4 + \tfrac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{6}x^6 = 1 - \tfrac13x^2 + \tfrac2{9}x^4 - \tfrac{14}{81}x^6$.
-
. -
$ (1+x)^{4} = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + \cdots$ (os quatro primeiros termos são esses).
Passo 6
Por fim, o exercício 10:
- $ (1 + x2)3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6 + \cdots$ (os quatro primeiros termos).