Séries binomiais

Encontre os quatro primeiros termos da série binomial para as funções nos Exercícios 1-10.
  1. (1+x)^1 / 2
  2. (1+x)^1 / 3
  3. (1+x2)^-2
  4. (1-x)^-1 / 2
  5. (1-2 x)^1 / 2
  6. (1-x3)^4
  7. (1+x^2)^-1 / 3
  8. xraiz[3]1+x
  9. (1+x)^4
  10. (1+x^2)^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos da expansão em série binomial para dez funções diferentes, ou seja, usar a expansão de (1+u)^alpha até o termo em u^3 (ou até x^6 quando a função envolver x^2).

Passo 2

Para isso, vamos usar a fórmula geral da série binomial (válida para qualquer expoente alpha, inteiro ou não):
O termo geral é dado por
binomalphak u^k = alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1)k!,u^k
Então os quatro primeiros termos são:
(1+u)^alpha = 1 + alpha u + alpha(alpha-1)2!u^2 + alpha(alpha-1)(alpha-2)3!u^3 + cdots

Passo 3

Aplicando essa fórmula em u=x para as funções 1, 2 e 3:
  1. $ (1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x + \tfrac{(1/2)(-1/2)}{2}x^2 + \tfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}x^3 = 1 + \tfrac12x - \tfrac18x^2 + \tfrac1{16}x^3$.
  2. $ (1+x)^{1/3} = 1 + \tfrac13 x + \tfrac{(1/3)(-2/3)}{2}x^2 + \tfrac{(1/3)(-2/3)(-5/3)}{6}x^3 = 1 + \tfrac13x - \tfrac19x^2 + \tfrac5{81}x^3$.
  3. $ (1+\tfrac x2)^{-2} = 1 + (-2)\tfrac x2 + \tfrac{(-2)(-3)}{2}(\tfrac x2)^2 + \tfrac{(-2)(-3)(-4)}{6}(\tfrac x2)^3 = 1 - x + \tfrac{3}{4}x^2 - \tfrac12x^3$.

Passo 4

Agora para as funções 4, 5 e 6:
  1. $ (1 - x)^{-1/2} = 1 + \tfrac12x + \tfrac{(1/2)(3/2)}{2}x^2 + \tfrac{(1/2)(3/2)(5/2)}{6}x^3 = 1 + \tfrac12x + \tfrac38x^2 + \tfrac5{16}x^3$.
  2. $ (1 - 2x)^{1/2} = 1 + \tfrac12(-2x) + \tfrac{(1/2)(-1/2)}{2}(-2x)^2 + \tfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}(-2x)^3 = 1 - x - \tfrac12x^2 - \tfrac12x^3$.
  3. $ (1 - \tfrac x3)^{4} = 1 + 4(-\tfrac x3) + \tfrac{4\cdot3}{2}(\tfrac x3)^2 + \tfrac{4\cdot3\cdot2}{6}( -\tfrac x3)^3 = 1 - \tfrac43x + \tfrac23x^2 - \tfrac4{27}x^3$.

Passo 5

Agora para os exercícios 7, 8 e 9 (observe que em 7 e 9 a variável é x^2):
  1. $ (1 + x2){-1/3} = 1 + (-\tfrac13)x^2 + \tfrac{(-1/3)(-4/3)}{2}x^4 + \tfrac{(-1/3)(-4/3)(-7/3)}{6}x^6 = 1 - \tfrac13x^2 + \tfrac2{9}x^4 - \tfrac{14}{81}x^6$.
  2. (1 + x^2)^-1/3 = 1 + (-tfrac13)x^2 + tfrac(-1/3)(-4/3)2x^4 + tfrac(-1/3)(-4/3)(-7/3)6x^6 = 1 - tfrac13x^2 + tfrac29x^4 - tfrac1481x^6.
  3. $ (1+x)^{4} = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + \cdots$ (os quatro primeiros termos são esses).

Passo 6

Por fim, o exercício 10:
  1. $ (1 + x2)3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6 + \cdots$ (os quatro primeiros termos).

Resposta

  1. (1+x)^1/2 = 1 + tfrac12x - tfrac18x^2 + tfrac116x^3
  2. (1+x)^1/3 = 1 + tfrac13x - tfrac19x^2 + tfrac581x^3
  3. (1+tfrac x2)^-2 = 1 - x + tfrac34x^2 - tfrac12x^3
  4. (1 - x)^-1/2 = 1 + tfrac12x + tfrac38x^2 + tfrac516x^3
  5. (1 - 2x)^1/2 = 1 - x - tfrac12x^2 - tfrac12x^3
  6. (1 - tfrac x3)^4 = 1 - tfrac43x + tfrac23x^2 - tfrac427x^3
  7. (1 + x^2)^-1/3 = 1 - tfrac13x^2 + tfrac29x^4 - tfrac1481x^6
  8. xraiz[3]1+x = x - tfrac13x^2 + tfrac29x^3 - tfrac1481x^4
  9. (1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3
  10. (1 + x^2)^3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6

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