Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.
29. lim x 0 e^x-(1+x)x^2
30. lim x 0 e^x-e^-xx
31. lim t 0 1-cos t-(t^2 / 2)t^4
32. lim theta 0 sen theta-theta+(theta^3 / 6)theta^5
33. lim y 0 y-tg^-1 yy^3
34. lim y 0 tg^-1 y-sen yy^3 cos y
35. lim x infty x^2(e^-1 / x^2-1)
36. lim x infty(x+1) sen 1x+1

Passo 1

A ideia geral é usar séries de Taylor (expansões) das funções envolvidas ( e^x, e^-x, cos x, sin x, arctan x) para aproximar as expressões perto do ponto de interesse ( xto0 ou xtoinfty) e então calcular o limite.

Passo 2

Para (29), use a expansão e^x=1+x+tfracx^22+O(x^3). Assim,
e^x-(1+x)=x^22+O(x^3)
Dividindo por x^2 tfrac12+O(x), logo o limite vale 1/2.

Passo 3

Para (30), use e^x=1+x+tfracx^22+tfracx^36+O(x^4) e e^-x=1-x+tfracx^22-tfracx^36+O(x^4). Então
e^x-e^-x=2x+tfrac2x^36+O(x^5)=2x+tfracx^33+O(x^5)
Dividindo por x 2+O(x^2), logo o limite é 2.

Passo 4

Para (31), cos t=1-tfract^22+tfract^424+O(t^6). Então
1-cos t-tfract^22=-tfract^424+O(t^6)
Dividindo por t^4 -1/24+O(t^2), logo o limite é -1/24.

Passo 5

Para (32), sintheta=theta-tfractheta^36+tfractheta^5120+O(theta^7). Então
sintheta-theta+tfractheta^36=tfractheta^5120+O(theta^7)
Dividindo por theta^5 1/120+O(theta^2), logo o limite é 1/120.

Passo 6

Para (33), arctan y=y-tfracy^33+O(y^5). Então
y-arctan y=tfracy^33+O(y^5)
Dividindo por y^3 1/3+O(y^2), logo o limite é 1/3.

Passo 7

Para (34), expanda arctan y=y-tfracy^33+O(y^5) e sin y=y-tfractheta^36+O(y^5). A diferença é
arctan y-sin y=-tfracy^36+O(y^5)
e cos y=1-tfracy^22+O(y^4), logo o denominador é y^3(1+O(y^2)).
Assim o quociente tende a -1/6.

Passo 8

Para (35), considere u=-1/x^2to0 e e^u=1+u+O(u^2). Então
e^-1/x^2-1=-tfrac1x^2+O(tfrac1x^4)
Multiplicando por x^2 -1+O(1/x^2), logo o limite é -1.

Passo 9

Para (36), defina t=1/(x+1)to0. Então x+1=1/t e
(x+1)sintfrac1x+1=1t(t-tfract^36+O(t^5))=1-tfract^26+O(t^4)
logo o limite é 1.

Resposta

  1. 1/2; 30) 2; 31) -1/24; 32) 1/120; 33) 1/3; 34) -1/6; 35) -1; 36) 1

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