Ache as derivadas parciais indicadas:
D22 f(x, y) ;
(b) f(x, y)=(4 x^2-2 y)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular D22f(x,y), ou seja, a derivada parcial de segunda ordem em relação a y da função f(x,y)=(4x^2-2y)^3. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia, já que temos um termo elevando outra expressão.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Como x é tratado como constante, aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial y=ddyl(4x^2-2yr)^3=3l(4x^2-2yr)^2cdot(-2)=-6l(4x^2-2yr)^2
Agora calculamos a segunda derivada parcial em relação a y, derivando fy novamente e simplificando em um só passo:
partial^2 fpartial y^2=ddyl[-6(4x^2-2y)^2r]=-6cdot2(4x^2-2y)cdot(-2)=24(4x^2-2y)=96x^2-48y

Resposta

D22f(x,y)=96x^2-48y

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