Nos Exercícios de 5 a 8, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos relativos de f, sujeitos ao vínculo indicado. Ache também os pontos nos quais os extremos ocorrem. Suponha que os extremos relativos existam.
f(x, y)=x^2+y com vínculo x^2+y^2=9

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar os extremos relativos da função f(x,y)=x^2+y sobre a circunferência x^2+y^2=9 usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar a função Lagrangeana e resolver o sistema nablaL=0 junto com o vínculo.

Passo 2

Introduzimos o multiplicador lambda e definimos a Lagrangeana
L(x,y,lambda)=x^2+y-lambda,(x^2+y^2-9)
A ideia é igualar as derivadas parciais de L a zero para obter as condições de ótimo.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de L. Lembrando que
nablaL=(partialxL,partialyL,partiallambdaL),
obtemos:
partialLpartial x=2x-2lambda x=2x,(1-lambda),
partialLpartial y=1-2lambda y,
partialLpartial lambda=-(x^2+y^2-9)
Igualamos cada uma a zero e mantemos também o vínculo x^2+y^2=9.

Passo 4

Resolvemos o sistema em dois casos: primeiro 2x(1-lambda)=0 implica x=0 ou lambda=1. No caso x=0, o vínculo dá y^2=9Rightarrow y=pm3. A partir de partialyL=0 temos 1-2lambda y=0Rightarrow lambda=1/(2y), o que nos leva a lambda=1/6 para y=3 e lambda=-1/6 para y=-3. Assim surgem os pontos (0,3) e (0,-3).

Passo 5

No caso lambda=1, usamos partialyL=0Rightarrow 1-2y=0Rightarrow y=1/2. Substituindo no vínculo x^2+(1/2)^2=9 obtemos x^2=35/4Rightarrow x=pmraiz35/2. Aqui temos os pontos (pmraiz35/2,,1/2).

Passo 6

Para classificar os extremos, avaliamos f em cada ponto. Temos:
f(0,3)=3, f(0,-3)=-3, fl(pmtfracraiz352,1/2r)=354+12=374=9,25
O maior valor é 37/4 nos pontos (pmraiz35/2,1/2), e o menor é -3 em (0,-3).

Resposta

Máximo relativo em l(pmraiz352,,tfrac12r) com f=tfrac374, e mínimo relativo em (0,-3) com f=-3.

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