Nos Exercícios de 5 a 8, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos relativos de
, sujeitos ao vínculo indicado. Ache também os pontos nos quais os extremos ocorrem. Suponha que os extremos relativos existam.
com vínculo
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar os extremos relativos da função
sobre a circunferência
usando multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar a função Lagrangeana e resolver o sistema
junto com o vínculo.
Passo 2
Introduzimos o multiplicador
e definimos a Lagrangeana
A ideia é igualar as derivadas parciais de
a zero para obter as condições de ótimo.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
. Lembrando que
obtemos:
Igualamos cada uma a zero e mantemos também o vínculo
.
Passo 4
Resolvemos o sistema em dois casos: primeiro
implica
ou
. No caso
, o vínculo dá
. A partir de
temos
, o que nos leva a
para
e
para
. Assim surgem os pontos
e
.
Passo 5
No caso
, usamos
. Substituindo no vínculo
obtemos
. Aqui temos os pontos
.
Passo 6
Para classificar os extremos, avaliamos
em cada ponto. Temos:
O maior valor é
nos pontos
, e o menor é
em
.
Resposta
Máximo relativo em
com
, e mínimo relativo em
com
.