Ache a derivadas parciais indicadas usando a regra da cadeia
z=(x+2 y)^{3}, x=u \cos v, y=u \operatorname{sen} v, \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}

Passo 1

O enunciado define
z=(x+2y)^{3},\quad x=u\cos v,\quad y=u\sin v
e pede \partial z/\partial u e \partial z/\partial v. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z=(x+2y)^{3},
temos
\frac{\partial z}{\partial x} =3\,(x+2y)^{2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =3\cdot2\,(x+2y)^{2} =6\,(x+2y)^{2}.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Da definição
x=u\cos v, \qquad y=u\sin v
vem
\frac{\partial x}{\partial u}=\cos v, \quad \frac{\partial x}{\partial v}=-\,u\sin v, \quad \frac{\partial y}{\partial u}=\sin v, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=u\cos v.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \partial z/\partial u:
\frac{\partial z}{\partial u} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u} =3\,(x+2y)^{2}\cos v +6\,(x+2y)^{2}\sin v.
Como x+2y=u\cos v+2u\sin v=u(\cos v+2\sin v), temos
\frac{\partial z}{\partial u} =3\,u^{2}(\cos v+2\sin v)^{2}(\cos v+2\sin v) =3\,u^{2}(\cos v+2\sin v)^{3}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \partial z/\partial v:
\frac{\partial z}{\partial v} =\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v} =3\,(x+2y)^{2}(-u\sin v) +6\,(x+2y)^{2}(u\cos v).
Fatorando 3\,(x+2y)^{2}u e usando de novo x+2y=u(\cos v+2\sin v), vem
\frac{\partial z}{\partial v} =3\,u\,(x+2y)^{2}\bigl(-\sin v+2\cos v\bigr) =3\,u^{3}(\cos v+2\sin v)^{2}(2\cos v-\sin v).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u} =3\,u^{2}(\cos v+2\sin v)^{3}, \qquad \frac{\partial z}{\partial v} =3\,u^{3}(\cos v+2\sin v)^{2}(2\cos v-\sin v).

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