Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=2 x^{4} y^{3}-x y^{2}+3 y+1
f_{x}(x, y)=8 x^{3} y^{3}-y^{2}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)=2x^{4}y^{3}-x y^{2}+3y+1
e o objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem f_x e f_y. Para isso, ao calcular cada derivada parcial, tratamos a outra variável como constante.

Passo 2

Para obter f_x, derivamos em relação a x mantendo y fixo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{4}y^{3}\bigr) =2y^{3}\cdot 4x^{3}=8x^{3}y^{3},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x y^{2}\bigr) =-y^{2}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(3y)=0, \quad \frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
Somando os termos,
f_x(x,y)=8x^{3}y^{3}-y^{2}.

Passo 3

Para obter f_y, derivamos em relação a y mantendo x fixo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{4}y^{3}\bigr) =2x^{4}\cdot 3y^{2}=6x^{4}y^{2},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x y^{2}\bigr) =-x\cdot 2y=-2xy, \quad \frac{\partial}{\partial y}(3y)=3, \quad \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
Somando os termos,
f_y(x,y)=6x^{4}y^{2}-2xy+3.

Resposta

f_x(x,y)=8x^{3}y^{3}-y^{2} f_y(x,y)=6x^{4}y^{2}-2xy+3

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