Se u=v \operatorname{sec} (r t), ache u_{r v r}.

Passo 1

O enunciado dá a função
u = v \operatorname{sec}(r t)
e pede a derivada mista de terceira ordem
u_{r v r} = \frac{\partial^3 u}{\partial r\,\partial v\,\partial r}.
Para isso vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia, lembrando que as derivadas parciais podem ser computadas em qualquer ordem se tudo for contínuo.

Passo 2

Primeiro calculamos
u_{r} = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(v \operatorname{sec}(r t)\bigr).
Como v é tratado como constante e \frac{d}{dr}\operatorname{sec}(r t)=\operatorname{sec}(r t)\tan(r t)\cdot t, vem
u_{r} = v \,\bigl[\operatorname{sec}(r t)\tan(r t)\,t\bigr] = v\,t\,\operatorname{sec}(r t)\tan(r t).

Passo 3

Agora tiramos a derivada de u_r em relação a v:
u_{r v} = \frac{\partial}{\partial v}\bigl(v\,t\,\operatorname{sec}(r t)\tan(r t)\bigr).
Só o v varia, logo
u_{r v} = t\,\operatorname{sec}(r t)\tan(r t).

Passo 4

Por fim, derivamos u_{r v} em relação a r:
u_{r v r} = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(t\,\operatorname{sec}(r t)\tan(r t)\bigr).
O fator t sai na frente e aplicamos a cadeia em \operatorname{sec}(r t)\tan(r t):
\frac{d}{dr}\bigl[\operatorname{sec}(r t)\tan(r t)\bigr] =\operatorname{sec}(r t)\bigl(\tan^2(r t)+\operatorname{sec}^2(r t)\bigr)\cdot t.
Portanto
u_{r v r} = t \cdot \bigl[\operatorname{sec}(r t)\bigl(\tan^2(r t)+\operatorname{sec}^2(r t)\bigr)\,t\bigr] = t^2\,\operatorname{sec}(r t)\bigl(\tan^2(r t)+\operatorname{sec}^2(r t)\bigr).

Resposta

u_{r v r} = t^2\,\operatorname{sec}(r t)\bigl(\tan^2(r t)+\operatorname{sec}^2(r t)\bigr).

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