Exemplo:
Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares (3,-3,-7).

Passo 1

O enunciado pede para transformar as coordenadas retangulares (x,y,z)=(3,-3,-7) em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},\qquad \theta = \operatorname{atan2}(y,x),\qquad z = z.

Passo 2

Calculamos o raio r no plano xy:
r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 3

Para achar o ângulo \theta, usamos
\theta = \operatorname{atan2}(y,x) = \operatorname{atan2}(-3,3).
Como \tan(\theta) = -1 e o ponto (3,-3) está no quarto quadrante, obtemos
\theta = -\frac{\pi}{4} \quad\text{ou, em valor principal em }[0,2\pi),\quad \theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.

Passo 4

A coordenada z permanece igual à retangular, ou seja
z = -7.

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto são
\bigl(r,\theta,z\bigr) = \bigl(3\sqrt{2},\,\tfrac{7\pi}{4},\,-7\bigr).

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