Ache as derivadas parciais primeiras de f onde f(x, y)=2 x e^{y}-3 y^{2} \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais primeiras de
f(x,y) = 2x e^{y} \;-\; 3y^{2}\operatorname{sen} x.
O conteúdo aqui é a definição de derivada parcial: para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante, e para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
– A derivada de 2x e^{y} em relação a x é 2\,e^{y}, pois e^{y} é constante.
– A derivada de -3y^{2}\operatorname{sen} x em relação a x é -3y^{2}\cos x, pois y^{2} é constante e \frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\cos x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =2e^{y}-3y^{2}\cos x.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
– A derivada de 2x e^{y} em relação a y é 2x e^{y}, pois x é constante e \frac{d}{dy}(e^{y})=e^{y}.
– A derivada de -3y^{2}\operatorname{sen} x em relação a y é -6y\,\operatorname{sen} x, pois \frac{d}{dy}(y^{2})=2y e \operatorname{sen} x é constante.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =2x e^{y}-6y\operatorname{sen} x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =2e^{y}-3y^{2}\cos x,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =2x e^{y}-6y\operatorname{sen} x.

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