Calcule \frac{\partial f}{\partial y}\) no ponto \(P=(0,0)\) da funiçäo: \(f(x)= \begin{cases}\frac{4 x^{2}}{5 x^{2}+6 y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 ; & (x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função f\) por \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{4x^{2}}{5x^{2}+6y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o valor de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\] em \(P=(0,0). Vamos usar a definição de derivada parcial como limite unidimensional.]

Passo 2

Pela definição, temos
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.

Passo 3

Para h\neq 0, ao substituir x=0 em f(x,y) vem
f(0,h)=\frac{4\cdot 0^{2}}{5\cdot 0^{2}+6h^{2}}=0.
Além disso, f(0,0)=0 por definição.

Passo 4

O quociente fica
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0
para todo h\neq 0. Logo, o limite quando h\to 0 é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

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