Calcule \frac{\partial f}{\partial u} para a função f(x, y)=x \operatorname{sen}(y) onde x=u+v e y=u v.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,\operatorname{sen}(y)
com as mudanças de variável
x = u+v, \qquad y = u\,v
e pede \frac{\partial f}{\partial u}.
O conteúdo principal é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia, para o que precisamos de \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial x}{\partial u} e \frac{\partial y}{\partial u}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)\bigr) = \operatorname{sen}(y),
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,\operatorname{sen}(y)\bigr) = x\,\cos(y).

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a u:
x = u+v \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u} = 1,
y = u\,v \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial u} = v.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial f}{\partial u}:
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u} = \operatorname{sen}(y)\cdot1 + \bigl(x\,\cos(y)\bigr)\cdot v.
Substituindo x=u+v e y=uv,
\frac{\partial f}{\partial u} = \operatorname{sen}(u v) + v\,(u+v)\,\cos(u v).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial u} = \operatorname{sen}(u v) + v\,(u+v)\,\cos(u v).

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