Calcule, se existir, o limite:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} \frac{y^{2}-4 y+3}{x^{2}(y-3)}

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (2,3). O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos precisar usar fatoração para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Observe que o numerador pode ser fatorado:
y^{2}-4y+3 = (y-1)(y-3).
Logo, para y\neq3, temos
\frac{y^{2}-4y+3}{x^{2}(y-3)} = \frac{(y-1)(y-3)}{x^{2}(y-3)} = \frac{y-1}{x^{2}}.

Passo 3

Como a expressão simplificada é contínua em torno de (2,3), basta substituir x=2 e y=3:
\lim_{(x,y)\to(2,3)}\frac{y-1}{x^{2}} =\frac{3-1}{2^{2}} =\frac{2}{4} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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