Determine as derivadas parciais das funções:
g(x, y)=x y e^{2 x y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais da função
g(x,y)=x y e^{2 x y}.
Informações dadas:
  • A função é explicitamente \;g(x,y)=x y e^{2 x y}.
  • Não há restrição de domínio explícita; a função é bem definida e suave para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 (exponencial é definida em toda parte).
    As perguntas concretas são: calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial (rapidamente, para fixar a ideia)?
  • A derivada parcial de g em relação a x, escrita \dfrac{\partial g}{\partial x}, mede a taxa de variação de g quando x varia e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h},
isto é, varia y e mantém x fixo.
Na prática, para funções dadas por expressões fechadas, aplicamos as regras usuais de derivação (produto, cadeia, exponencial), tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicando com calma):
  1. Regra do produto (versão para duas funções): se u(x,y) e v(x,y) são diferenciáveis, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui a ideia é: derivar uma parte mantendo a outra fixa, e somar o oposto.
2) Regra da cadeia (para exponencial): se h(x,y)=e^{\varphi(x,y)}, então
\frac{\partial h}{\partial x}=e^{\varphi(x,y)}\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial x}.
Isto vem do fato de que \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u} e aplicamos cadeia com \varphi.
3) Derivada de monômios simples: \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=y (porque y é constante ao derivar em x); e \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
No nosso caso, \varphi(x,y)=2xy. Então
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2y,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial x} passo a passo:
Escrevemos g como produto de duas funções:
g(x,y) = \big(xy\big)\cdot e^{2xy}.
Aplicando a regra do produto em relação a x:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)\cdot e^{2xy} + (xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2xy}\big).
Agora calculamos as peças:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y (pois y é tratado como constante).
  • Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2xy}\big)=e^{2xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=e^{2xy}\cdot 2y.
Substituindo:
\frac{\partial g}{\partial x}=y\cdot e^{2xy} + (xy)\cdot\big(e^{2xy}\cdot 2y\big).
Multiplicando os termos:
\frac{\partial g}{\partial x}=y e^{2xy} + 2x y^2 e^{2xy}.
Fatorando y e^{2xy} para simplificar a forma:
\frac{\partial g}{\partial x}=y e^{2xy}\big(1+2xy\big).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial y} passo a passo (análoga ao caso anterior, agora tratando x como constante):
Novamente g(x,y)=(xy)\cdot e^{2xy}. Pela regra do produto em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy)\cdot e^{2xy} + (xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2xy}\big).
As peças:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
  • Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2xy}\big)=e^{2xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=e^{2xy}\cdot 2x.
Substituindo:
\frac{\partial g}{\partial y}=x\cdot e^{2xy} + (xy)\cdot\big(e^{2xy}\cdot 2x\big).
Multiplicando:
\frac{\partial g}{\partial y}=x e^{2xy} + 2 x^2 y e^{2xy}.
Fatorando x e^{2xy}:
\frac{\partial g}{\partial y}=x e^{2xy}\big(1+2xy\big).

Passo 6

Pequena checagem (sanity check) para ver se as fórmulas fazem sentido em casos simples:
  • Se y=0, então g(x,0)=0 para todo x. Logo \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,0) deve ser 0. Pela fórmula:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,0)=y e^{2xy}(1+2xy)\Big|_{y=0}=0,
concorda.
  • Se x=0, g(0,y)=0 e \dfrac{\partial g}{\partial y}(0,y)=0. Pela fórmula:
\frac{\partial g}{\partial y}(0,y)=x e^{2xy}(1+2xy)\Big|_{x=0}=0,
também concorda.
Esses testes simples aumentam a confiança nas expressões obtidas.

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y e^{2xy}\big(1+2xy\big)
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x e^{2xy}\big(1+2xy\big)

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