Determine as derivadas parciais das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais da função
Informações dadas:
- A função é explicitamente
. - Não há restrição de domínio explícita; a função é bem definida e suave para todo
(exponencial é definida em toda parte).
As perguntas concretas são: calculare .
Passo 2
O que é derivada parcial (rapidamente, para fixar a ideia)?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , mede a taxa de variação de quando varia e fica fixo. Formalmente,
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
isto é, varia
e mantém
fixo.
Na prática, para funções dadas por expressões fechadas, aplicamos as regras usuais de derivação (produto, cadeia, exponencial), tratando a variável não diferenciada como constante.
Na prática, para funções dadas por expressões fechadas, aplicamos as regras usuais de derivação (produto, cadeia, exponencial), tratando a variável não diferenciada como constante.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicando com calma):
- Regra do produto (versão para duas funções): se
e são diferenciáveis, então
Aqui a ideia é: derivar uma parte mantendo a outra fixa, e somar o oposto.
2) Regra da cadeia (para exponencial): se , então
2) Regra da cadeia (para exponencial): se
Isto vem do fato de que
e aplicamos cadeia com
.
3) Derivada de monômios simples: (porque
é constante ao derivar em
); e
.
3) Derivada de monômios simples:
No nosso caso,
. Então
Passo 4
Cálculo de
passo a passo:
Escrevemos como produto de duas funções:
Escrevemos
Aplicando a regra do produto em relação a
:
Agora calculamos as peças:
-
(pois é tratado como constante). - Pela regra da cadeia,
Substituindo:
Multiplicando os termos:
Fatorando
para simplificar a forma:
Passo 5
Cálculo de
passo a passo (análoga ao caso anterior, agora tratando
como constante):
Novamente . Pela regra do produto em relação a
:
Novamente
As peças:
-
. - Pela cadeia,
Substituindo:
Multiplicando:
Fatorando
:
Passo 6
Pequena checagem (sanity check) para ver se as fórmulas fazem sentido em casos simples:
- Se
, então para todo . Logo deve ser . Pela fórmula:
concorda.
- Se
, e . Pela fórmula:
também concorda.
Esses testes simples aumentam a confiança nas expressões obtidas.
Esses testes simples aumentam a confiança nas expressões obtidas.