Ache as derivadas parciais primeiras de:
f(x, y, z)=x e^t-y e^x+z e^-y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais primeiras de f(x,y,z)=x e^t-y e^x+z e^-y. O conteúdo envolvido é o de derivadas parciais de funções de várias variáveis, usando as regras de derivação termo a termo, tratando t como constante.

Passo 2

Para encontrar partial f/partial x, derivamos cada termo em relação a x, mantendo y,z,t constantes. Assim,
“\frac{\partial}{\partial x}(x e{t})=e{t}”,
“\frac{\partial}{\partial x}(-y e^{x})=-y e^{x}”,
“\frac{\partial}{\partial x}(z e^{-y})=0”,
Portanto,
partial fpartial x=e^t-y e^x

Passo 3

Para partial f/partial y, derivamos cada termo em relação a y, mantendo x,z,t constantes. Assim,
“\frac{\partial}{\partial y}(x e^{t})=0”,
“\frac{\partial}{\partial y}(-y e{x})=-e{x}”,
“\frac{\partial}{\partial y}(z e{-y})=z(-e{-y})=-z e^{-y}”,
Portanto,
partial fpartial y=-e^x-z e^-y

Passo 4

Para partial f/partial z, derivamos cada termo em relação a z, mantendo x,y,t constantes. Assim,
“\frac{\partial}{\partial z}(x e^{t})=0”,
“\frac{\partial}{\partial z}(-y e^{x})=0”,
“\frac{\partial}{\partial z}(z e{-y})=e{-y}”,
Portanto,
partial fpartial z=e^-y

Resposta

fx=e^t-y e^x, fy=-e^x-z e^-y, fz=e^-y

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