Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmações: Se
, então existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para justificar que, se $ a \neq 0 $, então existe um número $ b $ tal que $ a \times b = 1 $. Isso está relacionado ao conceito de inverso multiplicativo na matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo dos números reais e suas propriedades. Para resolver isso, precisamos entender o que é um inverso multiplicativo e como ele funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um inverso multiplicativo. Para qualquer número diferente de zero, existe outro número que, quando multiplicados, dão 1. Esse outro número é chamado de inverso multiplicativo. Por exemplo, o inverso de 2 é $ \frac{1}{2} $, porque $ 2 \times \frac{1}{2} = 1 $.
Passo 3
Agora, considerando que $ a \neq 0 $, queremos encontrar $ b $ tal que $ a \times b = 1 $. Matemáticamente, isso significa que $ b $ é o inverso multiplicativo de $ a $. Podemos representar isso assim:
Passo 4
Vamos verificar se essa escolha de $ b $ realmente satisfaz a condição $ a \times b = 1 $. Substituindo $ b $ por $ \frac{1}{a} $:
Como $ a \neq 0 $, a divisão é válida e o resultado é 1, conforme desejado.
Passo 5
Portanto, mostramos que sempre que $ a $ for diferente de zero, podemos encontrar um $ b $ igual a $ \frac{1}{a} $ que satisfaz a equação $ a \times b = 1 $. Isso confirma que todo número não nulo possui um inverso multiplicativo.
Resposta
Sim, para qualquer $ a \neq 0 $, existe $ b = \frac{1}{a} $ tal que $ a \times b = 1 $.