Encontre os pontos críticos das funções abaixo.
f(x)=x^1 / 3-x^-2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{1/3} - x^{-2/3} $. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é igual a zero ou não está definida. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela se anula ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. Lembra que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $? Então, aplicando isso:
f(x)

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero. Então, vamos igualar $ f’(x) $ a zero:
f'(x)
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por $ 3x^{5/3} $ para eliminar os denominadores:
13x^-2/3 - 23x^-5/3 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação acima:
x - 2 = 0 x = 2
Ah, peraí! Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar. Multiplicando corretamente:
13x^-2/3 - 23x^-5/3 = 0 Rightarrow x^5/3 cdot 13x^-2/3 - x^5/3 cdot 23x^-5/3 = 0 Rightarrow 13x^(5/3 - 2/3) - 23x^(5/3 -5/3) = 0 Rightarrow 13x^1 - 23x^0 = 0 Rightarrow 13x - 23 = 0 Rightarrow x = 2

Passo 5

Mas espera, vamos verificar se a função está definida em $ x = 2 $. Sim, estão tudo certo porque $ x = 2 $ não causa problemas nos termos da função original.
Além disso, a derivada também pode não estar definida quando $ x = 0 $, porque temos potências negativas de $ x $. Porém, na função original $ f(x) = x^{1/3} - x^{-2/3} $, quando $ x = 0 $, o termo $ x^{-2/3} $ não está definido. Portanto, $ x = 0 $ não é um ponto crítico válido nesse caso.

Resposta

O único ponto crítico da função $ f(x) = x^{1/3} - x^{-2/3} $ é $ x = 2 $.

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