Encontre os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{1/3} - x^{-2/3} $. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é igual a zero ou não está definida. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela se anula ou não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. Lembra que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $? Então, aplicando isso:
Passo 3
Agora, queremos encontrar onde essa derivada é igual a zero. Então, vamos igualar $ f’(x) $ a zero:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por $ 3x^{5/3} $ para eliminar os denominadores:
Passo 4
Resolvendo a equação acima:
Ah, peraí! Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar. Multiplicando corretamente:
Passo 5
Mas espera, vamos verificar se a função está definida em $ x = 2 $. Sim, estão tudo certo porque $ x = 2 $ não causa problemas nos termos da função original.
Além disso, a derivada também pode não estar definida quando $ x = 0 $, porque temos potências negativas de $ x $. Porém, na função original $ f(x) = x^{1/3} - x^{-2/3} $, quando $ x = 0 $, o termo $ x^{-2/3} $ não está definido. Portanto, $ x = 0 $ não é um ponto crítico válido nesse caso.
Resposta
O único ponto crítico da função $ f(x) = x^{1/3} - x^{-2/3} $ é $ x = 2 $.