Questão 2: (4 pontos)
Usando o método de separação de variáveis, justificando todas as etapas do método, determine a solução não-nulo da equação parcial
\left\{\begin{array}{l} u_{x x}=u_{t} ;-L<x<L, \quad t>0 \\\ u(-L, t)=u(L, t), u_{x}(-L, t)=u_{x}(L, t), t>0 \\\ u(x, 0)=2 x-L<x<L \end{array}\right.

Passo 1

O problema dá a equação parcial e as condições
\left\{\begin{array}{l} u_{x x}=u_{t},\quad -L<x<L,\; t>0,\\[4pt] u(-L,t)=u(L,t),\quad u_{x}(-L,t)=u_{x}(L,t),\; t>0,\\[4pt] u(x,0)=2x-L,\quad -L<x<L. \end{array}\right.
O que se pede: usando o método de separação de variáveis (e justificando cada etapa), determinar a solução não-nula u(x,t) que satisfaz a PDE, as condições de contorno periódicas em x e a condição inicial dada. As informações relevantes são a PDE, as condições periódicas u(-L,t)=u(L,t) e u_x(-L,t)=u_x(L,t), e a condição inicial u(x,0)=2x-L.]

Passo 2

Hipótese de separação: procure soluções do tipo u(x,t)=X(x)\,T(t), com funções X e T não identicamente nulas. Substituindo na PDE:
X''(x)\,T(t)=X(x)\,T'(t).
Dividindo por X(x)T(t) (onde não são zero) obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda,
onde \lambda é uma constante de separação (independente de x e t). Assim obtemos os problemas ordinários
X''(x)=\lambda X(x), \qquad T'(t)=\lambda T(t).
Explicação curta do que isso significa: X é um autovetor do operador d^2/dx^2 com autovalor \lambda, e T é a evolução temporal exponencial com taxa \lambda.
Agora impomos as condições periódicas em X:
X(-L)=X(L),\qquad X'(-L)=X'(L).
Investigamos os três casos possíveis para \lambda.
Caso 1: \lambda>0. Escreva \lambda=\mu^{2} com \mu>0. A solução geral é
X(x)=A e^{\mu x}+B e^{-\mu x}.
Aplicando X(L)=X(-L) temos
A e^{\mu L}+B e^{-\mu L}=A e^{-\mu L}+B e^{\mu L}
que implica (A-B)\big(e^{\mu L}-e^{-\mu L}\big)=0. Como e^{\mu L}\neq e^{-\mu L}, segue A=B. Aplicando a condição para as derivadas:
\mu\big(A e^{\mu L}-B e^{-\mu L}\big)=\mu\big(A e^{-\mu L}-B e^{\mu L}\big)
que leva a (A+B)\big(e^{\mu L}-e^{-\mu L}\big)=0. Como e^{\mu L}\neq e^{-\mu L}, segue A+B=0. As duas igualdades A=B e A=-B forçam A=B=0. Portanto não há solução não-trivial para \lambda>0.
Caso 2: \lambda=0. Então X''=0 e X(x)=Ax+B. A condição X(L)=X(-L) A L + B = -A L + B, logo A=0. Assim X é constante X(x)=B (não-trivial se B\neq0). A componente temporal é T'(t)=0 então T é constante. O modo \lambda=0 corresponde a uma solução constante no espaço que não decai no tempo.
Caso 3: \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. A equação espacial é
X''+\mu^{2}X=0,
cuja solução geral é
X(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
Impondo X(L)=X(-L) temos
A\cos(\mu L)+B\sin(\mu L)=A\cos(\mu L)-B\sin(\mu L),
ou seja 2B\sin(\mu L)=0. Impondo X'(L)=X'(-L) obtemos
- A\mu\sin(\mu L)+B\mu\cos(\mu L) = -A\mu\sin(\mu L)-B\mu\cos(\mu L),
ou seja 2B\mu\cos(\mu L)=0. Para haver modo não-trivial (alguma solução com A ou B não zero) devemos ter simultaneamente condições que permitam A ou B não nulos. Se B\neq0, das duas igualdades seguiria \sin(\mu L)=0 e \cos(\mu L)=0 simultaneamente, impossível. Portanto a maneira mais simples é que \sin(\mu L)=0; isso torna a primeira igualdade satisfeita com qualquer A e força a segunda a ser satisfeita também (veja abaixo). Assim impondo \sin(\mu L)=0 obtemos
\mu L = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Como \mu>0 tomamos n=1,2,\dots e
\mu_n = \frac{n\pi}{L}.
Para \mu=\mu_n as funções próprias são \cos(\mu_n x) e \sin(\mu_n x). Note que a condição sobre derivadas se verifica: quando \sin(\mu_n L)=0 temos \cos(\mu_n L)=(-1)^n e as igualdades de contorno são satisfeitas. Concluímos que os autovalores relevantes são
\lambda_0=0,\qquad \lambda_n=-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\; n=1,2,\dots
com autovetores correspondentes constantes (para \lambda_0) e \cos\big(\frac{n\pi x}{L}\big),\\ \sin\big(\frac{n\pi x}{L}\big) (para n\ge1).

Passo 3

Construímos a solução geral como combinação linear (série) dos modos obtidos, com fatores temporais e^{\lambda t}. Assim a forma geral (real) é
u(x,t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)e^{-(n\pi/L)^2 t},
onde o termo constante corresponde a \lambda_0=0 (aqui o fator temporal é e^{0t}=1). As fórmulas padrão para os coeficientes de Fourier (período 2L) são
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}u(x,0)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}u(x,0)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}u(x,0)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\qquad n\ge1.
Agora aplicamos à condição inicial u(x,0)=f(x)=2x-L.
Cálculo de a_0:
\int_{-L}^{L}(2x-L)\,dx = \big[x^{2}-Lx\big]_{-L}^{L} = ( L^{2}-L^{2}) - (L^{2}+L^{2}) = -2L^{2}.
Logo
a_0=\frac{1}{L}(-2L^{2})=-2L,
e o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=-L. (Interpretação: a média espacial inicial é -L.)
Cálculo de a_n para n\ge1. Como 2x é função ímpar e \cos é par, o produto 2x\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é ímpar, e a integral simétrica sobre [-L,L] é zero. Além disso o termo constante -L multiplicado por \cos também integra zero porque \int_{-L}^L\cos\big(\frac{n\pi x}{L}\big)\,dx=\frac{2L}{n\pi}\sin(n\pi)=0. Portanto
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Cálculo de b_n para n\ge1. Escrevemos b_n=\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L}(2x-L)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx. O termo envolvendo -L é a integral de uma constante vezes \sin, que é zero sobre um intervalo simétrico (produto par*ímpar é ímpar): \int_{-L}^L \sin(\cdot)=0. Portanto resta
b_n=\frac{2}{L}\int_{-L}^{L}x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
O integrando x\sin(\cdot) é par (porque x é ímpar e \sin é ímpar), então podemos escrever
b_n=\frac{4}{L}\int_{0}^{L}x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Agora calcule essa integral por partes. Defina k=\dfrac{n\pi}{L}. Então
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx = \Big[-\frac{x\cos(kx)}{k}\Big]_{0}^{L} + \int_{0}^{L}\frac{\cos(kx)}{k}\,dx.
A segunda integral é \dfrac{1}{k}\big[\dfrac{\sin(kx)}{k}\big]_{0}^{L}=\dfrac{\sin(kL)}{k^{2}}-\!0. Como \sin(kL)=\sin(n\pi)=0, essa parte é zero. Assim
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx = -\frac{L\cos(kL)}{k} = -\frac{L\cos(n\pi)}{k} = -\frac{L(-1)^{n}}{k}.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{4}{L}\left(-\frac{L(-1)^{n}}{k}\right) = -\frac{4(-1)^{n}}{k}.
Voltando k=\dfrac{n\pi}{L} obtemos
b_n = -\frac{4(-1)^{n}}{n\pi/L} = -\frac{4L(-1)^{n}}{n\pi}.
É conveniente escrever com sinal mais claro:
b_n=\frac{4L(-1)^{\,n+1}}{n\pi},\qquad n\ge1.

Passo 4

Reescrevendo a solução com os coeficientes obtidos: os coeficientes a_n=0 para n\ge1 e a_0/2=-L. Logo a solução que satisfaz a PDE, as condições de contorno periódicas e a condição inicial é
u(x,t) = -L + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\,e^{-(n\pi/L)^{2}t}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Breve comentário sobre convergência e comportamento: para t>0 cada modo decai exponencialmente com taxa (n\pi/L)^{2}; a média -L permanece no tempo (modo zero). Para t\downarrow0 a série converge (no sentido de séries de Fourier) à extensão periódica da função inicial 2x-L no intervalo [-L,L].

Resposta

u(x,t)= -L + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\,e^{-(n\pi/L)^{2}t}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

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