Ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3

Passo 1

A função dada é f(x) = (x+1)(x+2)²(x+3)³, o tema aqui é derivadas de produto de três fatores. Vamos precisar usar a regra do produto estendida e, internamente, a regra da cadeia para os fatores elevadose.

Passo 2

Para lembrar: se temos f(x)=u(x)v(x)w(x), a derivada é
f'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)

Passo 3

Definimos
u(x)=x+1, v(x)=(x+2)^2, w(x)=(x+3)^3
Então
u'(x)=1, v'(x)=2(x+2), w'(x)=3(x+3)^2

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=1cdot(x+2)^2(x+3)^3+(x+1)cdot2(x+2)(x+3)^3+(x+1)(x+2)^2cdot3(x+3)^2

Passo 5

Para deixar mais enxuto, fatoramos o menor fator comum (x+2)(x+3)²:
f'(x)=(x+2)(x+3)^2l[(x+2)(x+3)+2(x+1)(x+3)+3(x+1)(x+2)r]
No colchete surge 6x²+22x+18, que dá, ao tirar 2: 2(3x²+11x+9). Portanto f’(x)=2(x+2)(x+3)²(3x²+11x+9).

Resposta

f’(x)=2(x+2)(x+3){2}(3x{2}+11x+9)

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